Решение задач по математике онлайн

ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 1.
Подробное решение задания C3.



Решите систему неравенств

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{30 \cdot 5^{x+2} - 0,2^x}{5^{4-x}-25^{2-x}} \geq 5^{x-4} \\\\ log_{x+5}\frac{(x-1)^4}{x^2+10x+25} \leq 0 \end{array}\right.$$
Решение
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену \( y = 5^x, y > 0 \)

$$ \frac{30 \cdot 25y-\Large \frac{1}{y}\normalsize}{ \Large\frac{625}{y}\normalsize - \Large\frac{625}{y^2}\normalsize } \geq \frac{y}{625} \Rightarrow \frac{750y^3-y}{y-1} \geq y \Rightarrow \frac{ y^2(750y-1)}{y-1} \geq 0 \Rightarrow $$
$$\left[\begin{array}{l} y \leq \frac{1}{750} \\\\ y > 1 \end{array}\right. $$
Делаем обратную замену:
$$\left[\begin{array}{l} x \leq -3-log_56 \\\\ x > 0 \end{array}\right. $$
2. Решим второе неравенство системы:
$$ log_{x+5}\frac{(x-1)^4}{(x+5)^2} \leq 0 \Rightarrow log_{x+5}\frac{(x-1)^4}{x+5} \leq 0 \Rightarrow $$
$$ log_{x+5}(x-1)^2 \leq 1 $$
Рассмотрим два случая.
Первый случай: \( x+5 >1 \)
$$ log_{x+5}(x-1)^2 \leq 1 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 0 < x^2-2x+1 \leq x+5 \\\\ x \neq 1 \end{array}\right. \Rightarrow $$
$$ \left\{\begin{array}{l} x^2-3x-4 \leq 0 \\\\ x \neq 1 \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} -1 \leq x < 1 \\\\ 1 < x \leq 4 \end{array}\right. $$
Все полученные значения переменной удовлетворяют условию \( x+5 > 1 \)
Второй случай: \( 0 < x + 5 < 1 \)
$$ log_{x+5}(x-1)^2 \leq 1 \Rightarrow x^2-3x-4 \geq 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \leq -1 \\\\ x \geq 4 \end{array}\right.$$
Учитывая условие \( 0 < x + 5 < 1, \;\; \) получаем: \( -5 < x < -4.\)
Решение второго неравенства исходной системы:
$$ \left[\begin{array}{l} -5 < x < -4 \\\\ -1 \leq x < 1 \\\\ 1 < x \leq 4 \end{array}\right. $$
3. Поскольку \( -5 < -3-log_56 < -4, \;\;\; \) получаем решение исходной системы неравенств:
$$ \left[\begin{array}{l} -5 < x \leq -3-log_56 \\\\ 0 < x < 1 \\\\ 1 < x \leq 4 \end{array}\right. $$
Ответ: \( ( -5; \;\; -3-log_56]; \;\; (0; 1); \;\; (1;4] \)

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3