Решение задач по математике онлайн

ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 1.
Подробное решение задания C4.



Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от А точка пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и АС как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 1 : 3. Найдите угол А.
Решение
Точка D лежит на окружности с диаметром АВ, поэтому \( \angle ADB = 90^\circ. \;\; \) Аналогично, \( \angle ADC = 90^\circ. \;\; \) Следовательно, точка D лежит на прямой ВС.
Рис. 1
Рис. 2
Возможны два случая: точка D лежит либо на отрезке ВС (рис. 1), либо на продолжении отрезка ВС за точку В (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка ВС за точку С, так как угол АСВ — острый.
Положим DB = t, CD = 3t. Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:
$$ AD = \frac{\sqrt{3}}{3} CD = t\sqrt{3}, $$
$$ AB = \sqrt{AD^2 + BD^2\;} = \sqrt{3t^2 + t^2\;} = 2t. $$
Рассмотрим первый случай. По теореме синусов
$$ \frac{sinA}{BC} = \frac{sinC}{AB} \Rightarrow \frac{sinA}{4t} = \frac{1}{4t} \Rightarrow sinA = 1. $$
Во втором случае:
$$ \frac{sinA}{2t} = \frac{1}{4t} \Rightarrow sinA = \frac{1}{2}. $$
Ответ: 30° или 90°

Содержание критерияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3