Решение задач по математике онлайн

ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 1.
Подробное решение задания C5.



Найдите все значения \( a \), для каждого из которых уравнение

$$ 8x^6 + (a-|x|)^3 +|x|\cdot \sqrt{2} - \sqrt{|x|-a} = 0 $$

имеет более трёх различных решений.
Решение
Перепишем уравнение в виде \( f(2x^2) = f(|x|-a), \;\;\; \) где \( f(t) = t^3+\sqrt{t}. \;\;\; \) Так как функция \( f(t) \) на своей области определения монотонно возрастает, уравнение задачи эквивалентно уравнению \( 2x^2 = |x| - a, \;\;\; \) которое имеет решения при \( a < \Large\frac{1}{8}\normalsize. \) Эти решения являются решениями уравнений
$$ |x| = \frac{1+\sqrt{1-8a}}{4} \;\;\; и \;\;\; |x| = \frac{1-\sqrt{1-8a}}{4} $$
Первое уравнение даёт два различных решения при \( a \leq \Large\frac{1}{8}\normalsize, \) а второе уравнение даёт ещё два различных решения, отличных от решений первого, при \( 0 < a < \Large\frac{1}{8}\normalsize \)
Ответ: \( 0 < a < \Large\frac{1}{8}\normalsize \)

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4