Решение задач по математике онлайн

ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 2.
Подробное решение задания C4.



В треугольнике ABC известны стороны: АВ = 8, ВС = 10, АС = 11. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС, соответственно, в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
Решение
Рис. 1
Обе точки К и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки К и L лежат на сторонах треугольника (рис. 1). Четырёхугольник AKLC — вписанный, следовательно,
$$ \angle KAC = 180^\circ - \angle KLC = \angle BLK $$
Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL = kAB, BK = kBC, KL=kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника AKLC равны:
$$ AK + LC = KL + AC \Rightarrow AB(1-k) + BC(1-k) = AC(1+k) \Rightarrow $$
$$ k = \frac{AB+BC-AC}{AC+AB+BC} \Rightarrow k = \frac{8+10-11}{8+10+11} = \frac{7}{29} \Rightarrow $$
$$ KL = \frac{7}{29}AC = \frac{77}{29} $$
Рис. 2
Пусть точка К лежит на продолжении стороны АВ (рис. 2). Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL = AC = 11. Заметим, что ВК = ВС > АВ и точка К действительно лежит на продолжении стороны АВ.
Если точка L лежит на продолжении стороны ВС, то BL > ВС, но аналогично предыдущему случаю получаем BL = АВ < ВС. Значит, этот случай не достигается.
Ответ: \( \Large \frac{77}{29}\normalsize; \;\; 11 \)

Критерии оценивания выполнения задания С4Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0