Решение задач по математике онлайн

ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 4.
Подробное решение задания C2.



В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями ВА1С1 и BA1D1.
Решение
Пусть точка \(O\) — центр куба, а \(M\) — середина \(A_1B.\)
\(A_1D_1 \bot A_1B, \;\; \) а \(MO\;\) — средняя линия треугольника \(BA_1D_1,\;\;\) поэтому \(MO \bot A_1B. \;\; \). Треугольник \(BA_1C_1 \;\; \) равносторонний, \(C_1M \bot A_1B, \;\; \) следовательно, искомый угол равен углу \(OMC_1. \)
Найдём стороны треугольника \(OMC_1. \;\; \) Из треугольника \(BA_1D_1 \;\; \) находим \(OM = \frac{1}{2}; \;\; \) из треугольника \(BA_1C_1 \;\; \) находим
$$ MC_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}A_1C_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{3}{2}} $$
\( OC_1 = \Large \frac{\sqrt{3}}{2}\normalsize , \;\; \) поскольку O — середина диагонали \(AC_1.\)
Теперь применим к треугольнику \(OMC_1 \;\; \) теорему косинусов:
$$ cos \angle OMC_1 = \frac{OM^2 + C_1M^2 -OC_1^2}{2\cdot OM \cdot MC_1} = \frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-\frac{3}{4} }{2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}} } = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}} $$
Ответ: \( arccos \sqrt{ \frac{2}{3} } \)

Критерии оценивания выполнения задания С2Баллы
Обоснованно получен правильный ответ2
Способ нахождения искомого угла верен, но получен неверный ответ или решение не закончено1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0