Решение задач по математике онлайн

ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 4.
Подробное решение задания C4.



Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен \( \Large\frac{15}{17}\normalsize. \; \) Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.
Решение
Пусть вершины К и L прямоугольника KLMN лежат на основании ВС равнобедренного треугольника ABC (точка К — между В и L), а вершины М и N — на боковых сторонах АС и АВ соответственно.
Обозначим \( \angle BAC = \alpha, \angle ABC = \angle ACB = \beta. \)
Тогда
$$ cos \alpha = \frac{15}{17}, \;\; sin \alpha = \frac{8}{17}, $$
$$ tg \beta = tg \left( 90^\circ-\frac{\alpha}{2} \right) = ctg \frac{\alpha}{2} = \frac{1+cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{1+\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}} = 4 $$
Предположим, что сторона KL прямоугольника вдвое больше его стороны KN. Положим KN = х, KL = 2х. Из прямоугольного треугольника BKN находим, что \( BK = KN ctg \alpha = \frac{x}{4}. \;\; \) Тогда \( LC = BK = \frac{x}{4}, \;\;\; \) а так как \( KL = MN = 2x, \;\; \) то
$$ BC = BK + KL + LC = \frac{x}{4} +2x +\frac{x}{4} = \frac{5}{2}x = 40 $$
откуда х = 16. Тогда KL = 2х = 32. Следовательно,
$$ S_{KLMN} = KL \cdot KN = 16 \cdot 32 = 512 $$
Пусть теперь сторона KN прямоугольника вдвое больше его стороны KL. Положим KL = у, KN = 2у. Из прямоугольного треугольника BKN находим, что \( BK = KN ctg \alpha = \frac{y}{2}. \;\; \) Тогда \( LC = BK = \frac{y}{2}, \;\; \) а так как \( KL = MN = y, \;\; \) то
$$ BC = BK + KL + LC = \frac{y}{2} +y +\frac{y}{2} = 2y = 40 $$
откуда y = 20. Тогда KN = 2y = 40. Следовательно,
$$ S_{KLMN} = KL \cdot KN = 20 \cdot 40 = 800 $$
Ответ: 512 или 800

Критерии оценивания выполнения задания С4Баллы
В представленном решении верно найдены оба возможных значения площади3
Рассмотрены оба случая, но верное решение имеется только для одного случая2
Рассмотрен только один случай и для этого случая верно найдена площадь1
Площади найдены неверно или не найдены0

Список задач