Решение задач по математике онлайн

ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 5.
Подробное решение задания C4.



Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
Решение
Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC, опущенная на его основание ВС, O — центр вписанной окружности, Р — точка её касания с боковой стороной АВ. Тогда АО = AD-OD = 9-4 = 5.
Обозначим \( \angle BAD = \alpha. \;\; \) Из прямоугольного треугольника АОР находим, что \( sin \alpha = \Large \frac{OP}{OA}\normalsize = \Large \frac{4}{5}\normalsize. \;\;\; \) Тогда
$$ cos \alpha = \frac{3}{5}, \;\; tg \alpha = \frac{4}{3}, \;\; AP = AO cos \alpha = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3, $$
$$ BP = BD = AD tg \alpha = 9 \cdot \frac{4}{3} =12 $$
Рис. 1 Рис. 2
Пусть окружность с центром O1 и радиусом r1 касается продолжений боковых сторон АВ и АС в точках F и G соответственно (рис. 1), а также основания ВС. Тогда D — точка касания, поэтому
$$ BF = BD = 12, \;\; AF = AP+PB+ BF = 3+12+12 = 27. $$
Следовательно,
$$ r_1 = O_1F = AF tg \alpha = 27 \cdot \frac{4}{3} = 36 $$
Пусть теперь окружность с центром О2 радиуса r2 касается боковой стороны АВ, продолжения основания ВС в точке Q и продолжения боковой стороны АС в точке К (рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому АO2 и AD — биссектрисы смежных углов ВАК и DAB, значит, \( \angle DAO_2 = 90^\circ. \;\; \) Тогда ADQO2 — прямоугольник. Следовательно, r2 = O2Q = AD = 9.
Радиус окружности, касающейся боковой стороны АС и продолжений основания ВС и боковой стороны АВ, также равен 9.
Ответ: 36 или 9

Критерии оценивания выполнения задания С4Баллы
В представленном решении верно найдены оба возможных значения радиуса3
Рассмотрены оба случая, но верное решение имеется только для одного случая2
Рассмотрен только один случай и для этого случая верно найден радиус1
Радиусы найдены неверно или не найдены0

Список задач