ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 6.
Подробное решение задания C4.
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение катетов треугольника равно \( \frac{3}{4} \) Решение
Обозначим треугольник ABC. Предположим, что отрезок отсекает от треугольника ABC треугольник ANM (см. рис. 1).
Обозначим точки касания окружности и прямых Р, Q, R, S (см. рис. 1). Поэтому OQMR и OPCS — квадраты, MQ = PC = r, где r — радиус окружности. Кроме того, NQ = NP. Значит, NM = NC.
BN — биссектриса угла ABC. Треугольники NMB и NCB равны по гипотенузе и катету.
 |
 |
| Рис. 1 | Рис. 2 |
Пусть CB = 3x, a СА = 4x. Тогда AM = АВ - ВМ = 5x - 3x = 2x. Из подобия треугольников AMN и АСВ получаем: \( \Large\frac{CB}{NM}\normalsize = \Large\frac{CA}{AM}\normalsize, \;\; \) откуда \( \Large\frac{3x}{6}\normalsize = \Large\frac{4x}{2x}\normalsize. \;\; \) Следовательно, х = 4. Найдём радиус окружности: $$ r = \frac{AC+BC-AB}{2} = \frac{2x}{2} = x =4 $$ Если отрезок отсекает треугольник BNM (рис. 2), то, рассуждая аналогично,находим, что ВМ = 5x-4x = x. Из подобия треугольников АСВ и NMB \( \Large\frac{CA}{NM}\normalsize = \Large\frac{CB}{AM}\normalsize, \;\; \) откуда \( \Large\frac{4x}{6}\normalsize = \Large\frac{3x}{x}\normalsize \Rightarrow x =4,5. \;\;\; \) Тогда \( r = x =4,5 . \) Ответ: 4 или 4,5
| Критерии оценивания выполнения задания С4 | Баллы |
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
