ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 6.
Подробное решение задания C5.
Найдите все значения параметра \( a \;\), при каждом из которых система $$\left\{\begin{array}{l} (|x|-4)^2 +(y-3)^2 =4 \\\\ (x+1)^2 +y^2 = a^2 \end{array}\right.$$ имеет единственное решение. Решение
Первое уравнение задаёт на плоскости две окружности \( \omega_1\;\) и \( \omega_2\;\) радиуса 2, симметричные относительно оси ординат. Центры этих окружностей — точки C1(4;3) и С2(-4; 3). Второе уравнение — уравнение окружности \(\omega\;\) радиуса а > 0 с центром С(-1; 0).
Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность \(\omega\;\) касается одной из окружностей \( \omega_1\;\) и \( \omega_2\;\), но не имеет общих точек с другой окружностью.
Из точки С проведём лучи СС1 и СС2 и обозначим А1, В1 и А2, В2 — точки их пересечения с окружностями \( \omega_1\;\) и \( \omega_2\;\) (см. рис.).
Заметим, что СС2 < СС1, поэтому СА2 < СA1 и СB2 < СB1. Значит, если а = СА2, то \(\omega\;\) касается \( \omega_2\;\), но не имеет общих точек с \( \omega_1\;\). Если а = СВ1, то \(\omega\;\) касается \( \omega_1\;\) но не имеет общих точек с \( \omega_2\;\). $$ CA_2 = CC_2 - C_2A_2 = \sqrt{(4-1)^2+3^2 \;\;} -2 = 3\sqrt{2} -2 $$ $$ CB_1 = CC_1 + C_1B_1 = \sqrt{(4+1)^2+3^2 \;\;} +2 = 2 +\sqrt{34} $$ Сравним CA1 и CB2: $$ CA_1 = \sqrt{(4+1)^2+3^2 \;\;} -2 = \sqrt{34} -2 $$ $$ CB_2 = \sqrt{(4-1)^2+3^2 \;\;} +2 = 3\sqrt{2}+2 $$ Получаем СА1 < СВ2. Значит, если \(\omega\;\) касается \(\omega_1\;\) в точке А1, то \(\omega\;\) пересекает \(\omega_2\;\) в двух точках. Аналогично если \(\omega\;\) касается \(\omega_2\;\) в точке В2, то \(\omega\;\) пересекает \(\omega_1\;\) в двух точках.
Следовательно, других решений, кроме двух найденных, система не имеет. Ответ: \( 3\sqrt{2}-2 \;\; \) или \( 2+ \sqrt{34} \)
| Критерии оценивания выполнения задания С5 | Баллы |
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки | 3 |
| Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна | 2 |
| Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
