ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 7.
Подробное решение задания C5.
Найдите все пары \( (x,y), \;\; x \leq 0, \;\; y \geq 0, \;\;\;\; \) удовлетворяющие системе
$$\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{f(x)-3} + \frac{10}{f(y)-2} = 12 \\\\ (f(y)-2)(f(x)-3) = f(y)-2 \end{array}\right.$$ где \( f \) — периодическая функция с периодом \( T=2, \;\; \) определённая на всей числовой прямой, причём \( f(x)=4|x| \;\; \) при \( \;\; -1 \leq x < 1 \) Решение
Введём обозначения: \( a=f(x)-3, \;\; b=f(y)-2. \;\;\;\; \) Система принимает вид $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{2}{a}+ \frac{10}{b} = 12 \\\\ ba = b \end{array}\right.$$ Из первого уравнения следует, что \( b \neq 0, \;\; \) тогда из второго получаем: \( a =1. \;\; \) Из первого уравнения теперь: \( \frac{10}{b}=10, \;\; \) откуда \( b=1.\)
Следовательно, \( f(x)=4, \;\; f(y)=3 \).
Построим график функции \( f(x). \;\;\) График — пилообразная ломаная. Наибольшее значение функции \(f\) равно 4 и достигается в точках \( 1+2k, \; k \in \mathbb{Z}. \;\; \) Значение 3 функция принимает в точках \( \pm \frac{3}{4}+2k, \; k \in \mathbb{Z}. \)
Учитывая условия \( x \leq 0, \;\; y \geq 0, \;\; \) получаем: $$ x= -1-2k, \;\; y= \frac{3}{4}+2n, \;\; y= \frac{5}{4}+2n, $$ $$ k=0,1,2,..., \;\; n=0,1,2,... $$ Ответ: \( (-1-2k, \;\; \frac{3}{4}+2n ), \;\; (-1-2k, \;\; \frac{5}{4}+2n ), \)
\( k=0,1,2,..., \;\; n=0,1,2,... \)
| Критерии оценивания выполнения задания С5 | Баллы |
| В представленном решении обоснованно получен верный ответ | 4 |
| Ход решения верный, однако имеется вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу | 3 |
| Верно найдены все значения параметров, но не учтены знаки | 2 |
| Найдены значения х и только одна серия значений у | 1 |
| Исследование системы на количество решений ошибочно. Логика решения отсутствует либо ошибочна | 0 |
