ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 7.
Подробное решение задания C6.
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа \( p.\;\;\) В результате получается рациональное число. Найдите это число. Решение
Пусть \( p > 1. \;\;\) Предположим, что наименьший период полученного рационального числа равен \(T. \;\;\) Тогда \( Tk \;\;\) — тоже период при любом натуральном \( k. \;\;\) Пусть первый период начинается с некоторой по счёту цифры, принадлежащей десятичной записи степени \( p^m. \;\;\) Возьмём период такой длины \( Tk, \;\;\) чтобы эта длина была больше, чем длина записи \( p^m.\)
В записи числа \( p^{m+1} \;\;\) цифр столько же, сколько в \( p^m, \;\;\) или на одну больше. Аналогично число \( p^{m+2} \;\;\) длиннее, чем \( p^m, \;\;\) не более чем на две цифры и так далее. Значит, можно найти такую степень \( p^n > p^m, \;\;\) что \( n = Tk. \;\;\)
Цифры числа \( p^n \;\;\) занимают весь период — группу длиной \( Tk. \)
Тогда в записи следующего числа \(p^{n+1} \;\;\) первые \(Tk \;\;\) цифр тоже образуют период и должны повторять цифры числа \(p^n. \;\;\)
Получается, что либо \(p^{n+1} = p^n \;\;\), либо \(p^{n+1} = 10p^n + \alpha \;\;\), где \(\alpha \;\;\) — какое-то однозначное число. Последнее равенство невозможно, так как \(p^{n+1} \leq 9p^n. \;\; \)
Следовательно, верно \(p^{n+1} = p^n, \;\;\) откуда \(p = 1 \;\;\). Десятичная дробь имеет вид \( 0,111... = \frac{1}{9} \) Ответ: \( \Large \frac{1}{9} \normalsize \)
| Критерии оценивания выполнения задания С6 | Баллы |
| В представленном решении обоснованно получен верный ответ | 4 |
| При верном ходе рассуждений решение содержит устранимый пробел или ошибку в доказательстве | 3 |
| Верное в целом рассуждение содержит логическую ошибку, приведшую к ошибочному выводу об отсутствии решений | 2 |
| Найдено нужное число, доказано, что оно рационально, однако не показано, что нет других решений | 1 |
| Отсутствует доказательство рациональности нужного числа или в ответе записано иррациональное число | 0 |
