Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Калькулятор для решения комплексных чисел.
Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел.
Вычислить n-ую степень и корень n-ой степени.

С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа.
Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода действительной и мнимой части
Комплексное число состоит из двух частей - действительной и мнимой.
Первое поле ввода - для действительной части, второе - для мнимой.
Для правильного ввода комплексного числа нужно ввести как минимум одну часть - действительную или мнимую.

Числа в действительную или мнимую части можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так + i

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: + i
Результат: \( -\frac{2}{3} - \frac{7}{5} \cdot i \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: + i
Результат: \( -1\frac{2}{3} + 5\frac{8}{3} \cdot i \)

Примеры подробного решения >>

Введите действительную и мнимую части чисел \( z_1 \) и \( z_2 \).
У каждого числа нужно ввести как минимум одну часть - действительную или мнимую.

z1 = + i
z2 = + i
z = + i
n = \( \; n \in \mathbb{N}, \; n \geq 2 \)
Вычислить сумму, разность, произведение и частное


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудьте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.


Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Понятие комплексного числа

Определение.
Комплексными числами называют выражения вида а + bi где а и b — действительные числа, а i — некоторый символ, для которого по определению выполняется равенство i2 = -1.

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения а + bi. Число а называется действительной частью комплексного числа а + bi, а число b — его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей. Например, действительная часть комплексного числа 2-3i равна 2, мнимая часть равна -3. Запись комплексного числа в виде а + bi называют алгебраической формой комплексного числа.

Равенство комплексных чисел

Определение.
Два комплексных числа а + bi и c + di называются равными тогда и только тогда, когда а = с и b = d, т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Сложение и умножение комплексных чисел

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения.
Суммой двух комплексных чисел а + bi и c + di называется комплексное число (a + c) + (b + d)i, т.е.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Произведением двух комплексных чисел а + bi и c + di называется комплексное число (ac - bd) + (ad + bc)i, т. е.
(а + bi)(с + di) = (ас-bd) + (ad + bc)i.

Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами. Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что i2 = -1.

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. Переместительное свойство
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 , \qquad z_1z_2 = z_2z_1 \)

2. Сочетательное свойство
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) , \qquad (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \)

3. Распределительное свойство
\( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 \)

Комплексно сопряженные числа

Определение.
Сопряженным с числом z = a + bi называется комплексное число а -bi, которое обозначается \( \overline{z} \), т. е.
\( \overline{z} = \overline{a+bi} = a-bi \)

Например, \( \overline{3 + 4i} = 3-4i, \qquad \overline{-2-5i} = -2+5i, \qquad \overline{i} = -i \)

Отметим, что \( \overline{a-bi} = a+bi \), поэтому для любого комплексного числа z имеет место равенство
\( \overline{(\overline{z})} = z \)
Равенство \( \overline{z} = z \) справедливо тогда и только тогда, когда z — действительное число.

Модуль комплексного числа

Определение.
Модулем комплексного числа z = а + bi называется число \( \sqrt{a^2+b^2} \), т.е.
\( |z|=|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2} \)

Из данной формулы следует, что \( |z| \geq 0 \) для любого комплексного числа z, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0, т.е. когда a=0 и b=0.

Вычитание комплексных чисел

Определение.
Комплексное число (–1)z называется противоположным комплексному числу z и обозначается –z.
Если z = a+bi, то –z = –a–bi. Например, –(3–5i) = –3+5i. Для любого комплексного числа z выполняется равенство
z+(–z) = 0.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел z1 и z2 существует, и притом только одно, число z, такое, что
z + z2 = z1,
т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) существует, и притом только одно, число \( z \), такое, что \( zz_2=z_1 \) т.е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел \( z_1 \) и \( z_2 \) и обозначается \( z_1:z_2 \), или \( \frac{z_1}{z_2} \), т.е. \( z=z_1:z_2 = \frac{z_1}{z_2} \)

Комплексное число нельзя делить на нуль.

Частное комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) можно найти по формуле
\( \large \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2} \)

Каждое комплексное число z, не равное нулю, имеет обратное ему число w, такое, что z*w = 1, где
\( \large w= \frac{1}{z} = \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i \)

Если z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, то формулу частного комплексных чисел можно представить в виде
\( \large \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}= \frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{a^2_2+b^2_2} = \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a^2_2+b^2_2}+ \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a^2_2+b^2_2}i \)

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число а + bi можно рассматривать как пару действительных чисел (а; b). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z = a + bi изображается точкой плоскости с координатами (а; b), и эта точка обозначается той же буквой z.

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу а + bi соответствует одна точка плоскости с координатами (а; b) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами (а; b) соответствует одно комплексное число a + bi. Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число 1 + i» говорят «точка 1 + i». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках i, 1+i, -i».

При такой интерпретации действительные числа a, т.е. комплексные числа а+0i, изображаются точками с координатами (а; 0), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа bi = 0+bi изображаются точками с координатами (0; b), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами (0; b) обозначается bi. Например, точка (0; 1) обозначается i, точка (0; -1) — это -i , точка (0; 2) — это точка 2i. Начало координат — это точка O. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки z и -z симметричны относительно точки 0 (начала координат), а точки \( z \) и \( \overline{z} \) симметричны относительно действительной оси.

Комплексное число z = a+bi можно изображать вектором с началом в точке 0 и концом в точке z. Этот вектор будем обозначать той же буквой z, длина этого вектора равна |z|.

Число z1 + z2 изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов z1 и z2 а вектор z1-z2 можно построить как сумму векторов z1 и -z2.

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа |z|. Пусть z = а+bi. Тогда по определению модуля \( |z|= \sqrt{a^2+b^2} \). Это означает, что |z| — расстояние от точки 0 до точки z.

Например, равенство |z| = 4 означает, что расстояние от точки 0 до точки z равно 4. Поэтому множество всех точек z, удовлетворяющих равенству |z| = 4, является окружностью с центром в точке 0 радиуса 4. Уравнение |z| = R является уравнением окружности с центром в точке 0 радиуса R, где R — заданное положительное число.

Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. |z1—z2|.
Пусть z1 = a1+b1i, z2 = a2+b2i.
Тогда \( |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_2-b_2)i| = \sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2} \)

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами (а1; b1) и (a2; b2).

Итак, |z1-z2| — расстояние между точками z1 и z2.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа

Определение
Аргумент комплексного числа \( z \neq 0 \) — это угол \( \varphi \) между положительным направлением действительной оси и вектором Oz. Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой стрелке.

Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа z = а + bi, его модулем r=|z| и аргументом \( \varphi \) выражается следующими формулами:
\( \left\{ \begin{array}{l} a=r \cos \varphi \\ b=r \sin \varphi \end{array} \qquad (1) \right. \)

\( \left\{ \begin{array}{l} \cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \qquad (2) \right. \)

Аргумент комплексного числа z = a+bi ( \( z\neq 0 \) ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений вида \( \varphi =\varphi_0+2k\pi \), где \( k\in\mathbb{Z} , \;\; \varphi_0 \) — одно из решений системы (1), т.е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента комплексного числа z = а+bi ( \( z\neq 0 \) ) можно воспользоваться формулой
\( tg \varphi = \large \frac{b}{a} \normalsize \qquad (3) \)

При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка z = а+bi.

Запись комплексного числа в тригонометрической форме

Из равенства (1) следует, что любое комплексное число z = a+bi, где \( z\neq 0 \), представляется в виде
\( z = r(\cos\varphi +i\sin\varphi ) \qquad (4) \)
где \( r=|z|=\sqrt{a^2+b^2} \) - модуль комплексного числа z, \( \varphi \) - его аргумент. Запись комплексного числа в виде (4), где r>0, называют тригонометрической формой комплексного числа z.

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел z1 и z2. Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме:
\( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 +i\sin\varphi_1), \quad z_2 = r_2(\cos\varphi_2 +i\sin\varphi_2) \) то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:
\( z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \)

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел:
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i\sin(\varphi_1-\varphi_2)) \)

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Формула Муавра

Для любого \( n \in \mathbb{Z} \) справедлива формула
\( z^n = r^n(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = r^n(\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi) ) \) которую называют формулой Муавра.