Решение задач по математике онлайн

Калькулятор онлайн.
Калькулятор для решения комплексных чисел.
Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел.
Вычислить n-ую степень и корень n-ой степени.

С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа.
Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода действительной и мнимой части
Комплексное число состоит из двух частей - действительной и мнимой.
Первое поле ввода - для действительной части, второе - для мнимой.
Для правильного ввода комплексного числа нужно ввести как минимум одну часть - действительную или мнимую.

Числа в действительную или мнимую части можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так + i

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: + i
Результат: \( -\frac{2}{3} - \frac{7}{5} \cdot i \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: + i
Результат: \( -1\frac{2}{3} + 5\frac{8}{3} \cdot i \)

Примеры подробного решения >>

Введите действительную и мнимую части чисел \( z_1 \) и \( z_2 \).
У каждого числа нужно ввести как минимум одну часть - действительную или мнимую.

z1 = + i
z2 = + i
z = + i
n = \( \; n \in \mathbb{N}, \; n \geqslant 2 \)


Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Понятие комплексного числа

Определение.
Комплексными числами называют выражения вида \(а + bi\) где \(a\) и \(a\) — действительные числа, а \(i\) — некоторый символ, для которого по определению выполняется равенство \( i^2=-1 \).

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения \(а + bi\). Число \(а\) называется действительной частью комплексного числа \(а + bi\), а число \(b\) — его мнимой частью. Число \(i\) называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа \(2-3i\) равна \(2\), мнимая часть равна \(-3\).
Запись комплексного числа в виде \(а + bi\) называют алгебраической формой комплексного числа.

Равенство комплексных чисел

Определение.
Два комплексных числа \(a + bi\) и \(c + di\) называются равными тогда и только тогда, когда \(a =c\) и \(b =d\), т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Сложение и умножение комплексных чисел

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения.
Суммой двух комплексных чисел \(a+ bi\) и \(c + di\) называется комплексное число \( (a+c) + (b+d)i \), т.е. \( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \).

Произведением двух комплексных чисел \(a + bi\) и \(c + di\) называется комплексное число \( (ac - bd) + (ad + bc)i \), т. е.
\( (a + bi)(с + di) = (aс-bd) + (ad + bc)i \).

Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами. Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что \( i^2=-1 \).

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. Переместительное свойство
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \),
\( z_1z_2 = z_2z_1 \)

2. Сочетательное свойство
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \),
\( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \)

3. Распределительное свойство
\( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 \)

Комплексно сопряженные числа

Определение.
Сопряженным с числом \(z = a + bi\) называется комплексное число \(a -bi\), которое обозначается \( \overline{z} \), т. е.
\( \overline{z} = \overline{a+bi} = a-bi \)

Например :
\( \overline{3 + 4i} = 3-4i \),
\( \overline{-2-5i} = -2+5i \),
\( \overline{i} = -i \)

Отметим, что \( \overline{a-bi} = a+bi \), поэтому для любого комплексного числа \(z\) имеет место равенство
\( \overline{(\overline{z})} = z \)
Равенство \( \overline{z} = z \) справедливо тогда и только тогда, когда \(z\) — действительное число.

Модуль комплексного числа

Определение.
Модулем комплексного числа \(z = a + bi\) называется число \( \sqrt{a^2+b^2} \), т.е.
\( |z|=|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2} \)

Из данной формулы следует, что \( |z| \geqslant 0 \) для любого комплексного числа \(z\), причем \(|z|=0\) тогда и только тогда, когда \(z=0\), т.е. когда \(a=0\) и \(b=0\).

Вычитание комплексных чисел

Определение.
Комплексное число \( (-1)z \) называется противоположным комплексному числу \(z\) и обозначается \(-z\).
Если \(z = a + bi\), то \(-z = -a - bi\)
Например : \( -(3-5i) = -3+5i \)
Для любого комплексного числа \(z\) выполняется равенство
\( z+(-z) = 0 \).

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) существует, и притом только одно, число \(z\), такое, что
\( z + z_2 = z_1 \),
т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) существует, и притом только одно, число \( z \), такое, что \( z \cdot z_2=z_1 \) т.е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел \( z_1 \) и \( z_2 \) и обозначается \( z_1:z_2 \), или \( \frac{z_1}{z_2} \), т.е. \( z=z_1:z_2 = \frac{z_1}{z_2} \)

Комплексное число нельзя делить на ноль.

Частное комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) можно найти по формуле
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2} $$

Каждое комплексное число \(z\), не равное нулю, имеет обратное ему число \(w\), такое, что \(z \cdot w = 1\), где
$$ w= \frac{1}{z} = \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i $$

Если \( z_1 = a_1 + b_1i \; , \; z_2 = a_2 + b_2i \), то формулу частного комплексных чисел можно представить в виде
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}= \frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{a^2_2+b^2_2} = \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a^2_2+b^2_2}+ \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a^2_2+b^2_2}i $$

Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число \(a + bi\) можно рассматривать как пару действительных чисел \((a; b)\). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число \(z = a + bi\) изображается точкой плоскости с координатами \((a; b)\), и эта точка обозначается той же буквой \(z\).

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу \(a + bi\) соответствует одна точка плоскости с координатами \((a; b)\) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами \((a; b)\) соответствует одно комплексное число \(a + bi\). Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число \(1 + i\)» говорят «точка \(1 + i\)». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках \(i, \; 1+i, \; -i \)».

При такой интерпретации действительные числа \(a\), т.е. комплексные числа \(a+0i\), изображаются точками с координатами \((a; 0)\), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью.
Чисто мнимые числа \(bi = 0+bi\) изображаются точками с координатами \((0; b)\), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами \((0; b)\) обозначается \(bi\).
Например, точка \((0; 1)\) обозначается \(i\), точка \((0; -1)\) — это \(-i\) , точка \((0; 2)\) — это точка \(2i\).
Начало координат — это точка \(O\).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки \(z\) и \(-z\) симметричны относительно точки \(O\) (начала координат), а точки \( z \) и \( \overline{z} \) симметричны относительно действительной оси.

Комплексное число \(z = a+bi\) можно изображать вектором с началом в точке \(O\) и концом в точке \(z\). Этот вектор будем обозначать той же буквой \(z\), длина этого вектора равна \(|z|\).

Число \( z_1 + z_2 \) изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов \( z_1 \) и \( z_2 \) а вектор \( z_1 - z_2 \) можно построить как сумму векторов \( z_1 \) и \( -z_2 \).

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа \(|z|\). Пусть \(z = a+bi\). Тогда по определению модуля \( |z|= \sqrt{a^2+b^2} \). Это означает, что \(|z|\) — расстояние от точки \(O\) до точки \(z\).

Например, равенство \(|z| = 4\) означает, что расстояние от точки \(O\) до точки \(z\) равно \(4\). Поэтому множество всех точек \(z\), удовлетворяющих равенству \(|z| = 4\), является окружностью с центром в точке \(O\) радиуса \(4\). Уравнение \(|z| = R\) является уравнением окружности с центром в точке \(O\) радиуса \(R\), где \(R\) — заданное положительное число.

Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. \( |z_1-z_2| \).
Пусть \( z_1 = a_1+b_1i, \; z_2 = a_2+b_2i \)
Тогда \( |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_1-b_2)i| = \sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2} \)

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами \( (a_1;b_1) \) и \( (a_2;b_2) \).

Итак, \( |z_1-z_2| \) — расстояние между точками \( z_1 \) и \( z_2 \).

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа

Определение
Аргумент комплексного числа \( z \neq 0 \) — это угол \( \varphi \) между положительным направлением действительной оси и вектором \(Oz\). Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой стрелке.

Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа \(z = a + bi\), его модулем \(r=|z|\) и аргументом \( \varphi \) выражается следующими формулами:
\( \left\{ \begin{array}{l} a=r \cos \varphi \\ b=r \sin \varphi \end{array} \qquad (1) \right. \)

$$ \left\{ \begin{array}{l} \cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \qquad (2) \right. $$

Аргумент комплексного числа \(z = a+bi\) ( \( z \neq 0 \) ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений вида \( \varphi =\varphi_0+2k\pi \), где \( k\in\mathbb{Z} , \;\; \varphi_0 \) — одно из решений системы (1), т.е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента комплексного числа \(z = a+bi\) ( \( z\neq 0 \) ) можно воспользоваться формулой
\( tg \varphi = \large \frac{b}{a} \normalsize \qquad (3) \)

При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка \(z = a+bi\).

Запись комплексного числа в тригонометрической форме

Из равенства (1) следует, что любое комплексное число \(z = a+bi\), где \( z\neq 0 \), представляется в виде
\( z = r(\cos\varphi +i\sin\varphi ) \qquad (4) \)
где \( r=|z|=\sqrt{a^2+b^2} \) - модуль комплексного числа \(z\), \( \varphi \) - его аргумент. Запись комплексного числа в виде (4), где \(r>0\), называют тригонометрической формой комплексного числа \(z\).

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\). Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме :
\( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 +i\sin\varphi_1), \quad z_2 = r_2(\cos\varphi_2 +i\sin\varphi_2) \) то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:
\( z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \)

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел:
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i\sin(\varphi_1-\varphi_2)) $$

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Формула Муавра

Для любого \( n \in \mathbb{Z} \) справедлива формула
$$ z^n = r^n(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = r^n(\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi) ) $$
которую называют формулой Муавра.