Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное неравенство. Программа для решения показательного неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию решения показательных неравенств и некоторые методы решения показательных неравенств.

Примеры подробного решения >>

Неравенства вида
\( a^x > b \) и \( a^x < b \),
где \( a>0, \; a \neq 0, \; b \in \mathbb{R} \)
называют простейшими показательными неравенствами.

Напомним, что решением неравенства называют число \(x_0\), при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство.

Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет.

Случай \( b \leqslant 0\)

Поскольку \( a^x >0 \) для любого \( x \in \mathbb{R} \), то при \( b \leqslant 0\) неравенство \( a^x > b \) верно для любого \( x \in \mathbb{R} \).
И нет ни одного \( x \in \mathbb{R} \) для которого было бы верно неравенство \( a^x \leqslant b \) при \( b \leqslant 0\).

Таким образом, если \( b \leqslant 0\), то множество всех решений неравенства \( a^x > b \) есть интервал \( (-\infty; \; +\infty) \), а неравенство \( a^x < b \) решений не имеет.

Случай \( b > 0\)

Если же \( b > 0\), то исходные неравенства можно переписать в виде
\( a^x > a^c \) и \( a^x < a^c \), где \( c = log_ab \)

Случай \( a > 1\)

Рассмотрим решение неравенств \( a^x > a^c \) и \( a^x < a^c \) сначала при \( a > 1\)
Так как для такого \(a\) функция \( y = a^x \) является возрастающей, то для любого числа \( x > c \) верно неравенство \( a^x > a^c \), а для любого числа \( x < c \) верно неравенство \( a^x < a^c \).
Кроме того, равенство \( a^x = a^c \) справедливо лишь при \( x = c \).

Таким образом, при \( b > 0\) и \( a > 1\) множество всех решений неравенства \( a^x > a^c \) есть интервал \( (c; \; +\infty) \), а множество всех решений неравенства \( a^x < a^c \) есть интервал \( (-\infty; \; c) \), где \( c = log_ab \).

Случай \( 0 < a < 1 \)

Так как для такого \(a\) функция \( y = a^x \) является убывающей, то для любого числа \( x > c \) верно неравенство \( a^x < a^c \), а для любого числа \( x < c \) верно неравенство \( a^x > a^c \).
Кроме того, равенство \( a^x = a^c \) справедливо лишь при \( x = c \).

Таким образом, при \( b > 0\) и \( 0 < a < 1\) множество всех решений неравенства \( a^x > a^c \) есть интервал \( (-\infty; \; c) \), а множество всех решений неравенства \( a^x < a^c \) есть интервал \( (c; \; +\infty) \), где \( c = log_ab \).

ПРИМЕР 1. Решим неравенство \(2x < 8\)
Так как 8 > 0, то неравенство можно переписать в виде \(2x < 2^3\)
Так как 2 > 1, то функция \(y = 2^x\) возрастающая. Поэтому решением неравенства, являются все x < 3
Ответ: \( (-\infty; \; 3) \)

ПРИМЕР 2. Решим неравенство \( \left( \frac{1}{3}\right)^x < 5\)
Так как 5 > 0, то это неравенство можно переписать в виде
$$ \left( \frac{1}{3}\right)^x < \left( \frac{1}{3}\right)^{log_{\frac{1}{3}}5} $$
Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), то функция \( y = \left( \frac{1}{3}\right)^x \) убывающая. Поэтому решениями неравенства, являются все \( x > log_{\frac{1}{3}}5 \)
Ответ: \( (log_{\frac{1}{3}}5 ; \; +\infty) \)

ПРИМЕР 3. Решим неравенство \( 2^{x-2} + 2^{x+1} < 18 \)