Калькулятор онлайн. Решение геометрической прогрессии.
Дано: b1, q, n
Найти: bn и первых n членов.
Эта математическая программа находит \( b_n \) и первых \( n \) членов
геометрической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \( b_1, q \) и \( n \).
Числа \( b_1\) и \( q \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби ( \( 2,5 \) ) и в виде обыкновенной дроби ( \( -5\frac{2}{7} \) ).
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа \( b_1\) и \( q \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \( n\) может быть только целое положительное.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \( -\frac{2}{3} \)
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \( -1\frac{2}{3} \)
Введите числа b1, q, n
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock. В этом случае отключите его и обновите страницу.
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже. Пожалуйста подождите сек...
В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например,
дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных
номеров в специальных картотеках.
В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a1, a2, a3, ..., aN
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число an.
В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a1, a2, a3, ..., an, ... .
Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности,
число a3 — третьим членом последовательности и т. д.
Число an называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.
Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, (n + 1)2, ...
а1 = 1 - первый член последовательности; аn = n2 является n-м членом последовательности;
an+1= (n + 1)2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности.
Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена.
Например, формулой \( a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность
\( 1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)
Геометрическая прогрессия
Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного
треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения,
получим треугольники со сторонами \( 1, \; \frac{1}{2}, \; \frac{1}{4} \) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих
треугольников: \( 4, \; 2, \; 1, \; \frac{1}{2}, \; \frac{1}{4}, \; \frac{1}{8}, \dots \)
В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \frac{1}{2} \)
Определение.
Числовая последовательность
b1, b2, b3, ..., bn, ...
называется геометрической прогрессией если для всех натуральных n выполняется равенство
bn+1 = bnq,
где \( b_n \neq 0 \), q — некоторое число, не равное нулю.
Из этой формулы следует, что \( \frac{ b_{n+1}}{b_n}=q \). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
По определению геометрической прогрессии
\( b_{n+1} = b_n q, \quad b_{n-1}=\frac{b_n}{q}, \)
откуда
\( b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}, \quad n>1 \)
Если все члены геометрической прогрессии положительны, то \( b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}} \), т.е. каждый член прогрессии, начиная
со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.
Отметим, что если b1 и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле
bn+1 = bnq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.
По определению геометрической прогрессии
b2 = b1q,
b3 = b2q = b1q2,
b4 = b3q = b1q3 и т.д.
Вообще,
\( b_n = b_1q^{n-1} \)
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (n-1) раз на число q.
Эту формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.
Также не сложно получить формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член.
Запишем формулы n-го члена геометрической прогрессии и m-го члена:
\( b_n = b_1q^{n-1} \)
$$ b_m = b_1q^{m-1} \Rightarrow b_1 = \frac{b_m}{q^{m-1}} $$
Подставляя b1 в первое равенство получим:
$$ b_n = \frac{b_m}{q^{m-1}} \cdot q^{n-1} = b_m \cdot q^{n-1-(m-1)} = b_m \cdot q^{n-m} $$
Таким образом мы получили формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член:
\( b_n = b_m \cdot q^{n-m} \)
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
Найдем сумму
S = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35.
Умножим обе части равенства на 3:
3S = 3 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36.
Перепишем эти два равенства так:
S = 1 + (3 + 32 + 33 + 34 + 35),
3S = (3 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35) + 36.
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию \( b_1, \; b_1q, \; \dots, \; b_1q^n, \; \dots \) знаменатель
которой \( q \neq 1 \).
Пусть Sn - сумма n первых членов этой прогрессии:
\( S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + ... + b_1q^{n-1} \)
Тогда сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем \( q \neq 1 \) равна
$$ S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$
Можно получить ещё одну формулу для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \frac{b_1q^n - b_1}{q-1} = \frac{b_1q^{n-1} \cdot q - b_1}{q-1} $$
Так как \( b_n=b_1q^{n-1} \), то можно подставить \( b_n \) в предыдущее выражение:
$$ S_n = \frac{b_n q - b_1}{q-1} $$