Эта математическая программа находит \(S_n\) - сумму n первых членов геометрической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \( b_1, b_n \) и \( n \).
Числа \( b_1 \) и \( b_n \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби ( \( 2,5 \) ) и в виде обыкновенной дроби ( \( -5\frac{2}{7} \) ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a₁, a₂, a₃, ..., a_N
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a_n.

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... .
Число a₁ называют первым членом последовательности, число a₂ — вторым членом последовательности, число a₃ — третьим членом последовательности и т. д.
Число a_n называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n², (n + 1)², ... а₁ = 1 - первый член последовательности; а_n = n² является n-м членом последовательности; a_n+1= (n + 1)² является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \( a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность \( 1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами \( 1, \; \frac{1}{2}, \; \frac{1}{4} \) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников: \( 4, \; 2, \; 1, \; \frac{1}{2}, \; \frac{1}{4}, \; \frac{1}{8}, \dots \)

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \frac{1}{2} \)

Определение.
Числовая последовательность
b₁, b₂, b₃, ..., b_n, ...
называется геометрической прогрессией если для всех натуральных n выполняется равенство
b_n+1 = b_nq,
где \( b_n \neq 0 \), q — некоторое число, не равное нулю.

Из этой формулы следует, что \( \frac{ b_{n+1}}{b_n}=q \). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

По определению геометрической прогрессии
\( b_{n+1} = b_n q, \quad b_{n-1}=\frac{b_n}{q}, \)
откуда
\( b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}, \quad n>1 \)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то \( b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}} \), т.е. каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.

Отметим, что если b₁ и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле b_n+1 = b_nq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.

По определению геометрической прогрессии
b₂ = b₁q,
b₃ = b₂q = b₁q²,
b₄ = b₃q = b₁q³ и т.д.

Вообще,
\( b_n = b_1q^{n-1} \)
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (n-1) раз на число q.
Эту формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Также не сложно получить формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член.
Запишем формулы n-го члена геометрической прогрессии и m-го члена:
\( b_n = b_1q^{n-1} \)
$$ b_m = b_1q^{m-1} \Rightarrow b_1 = \frac{b_m}{q^{m-1}} $$
Подставляя b₁ в первое равенство получим:
$$ b_n = \frac{b_m}{q^{m-1}} \cdot q^{n-1} = b_m \cdot q^{n-1-(m-1)} = b_m \cdot q^{n-m} $$
Таким образом мы получили формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член:
\( b_n = b_m \cdot q^{n-m} \)

Найдем сумму
S = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵.
Умножим обе части равенства на 3:
3S = 3 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶.
Перепишем эти два равенства так:
S = 1 + (3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵),
3S = (3 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵) + 3⁶.

Выражения, стоящие в скобках, одинаковы. Поэтому, вычитая из нижнего равенства верхнее, получаем:
3S - S = 3⁶ - 1,    2S = 3⁶ - 1,
$$ S=\frac{3^6 - 1}{2} = \frac{729 - 1}{2} = 364 $$

Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию \( b_1, \; b_1q, \; \dots, \; b_1q^n, \; \dots \) знаменатель которой \( q \neq 1 \).
Пусть Sⁿ - сумма n первых членов этой прогрессии:
\( S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + ... + b_1q^{n-1} \)
Тогда сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем \( q \neq 1 \) равна
$$ S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$

Можно получить ещё одну формулу для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \frac{b_1q^n - b_1}{q-1} = \frac{b_1q^{n-1} \cdot q - b_1}{q-1} $$
Так как \( b_n=b_1q^{n-1} \), то можно подставить \( b_n \) в предыдущее выражение:
$$ S_n = \frac{b_n q - b_1}{q-1} $$