Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные. Описание.

<< Назад (к решению неравенств)

Какие неравенства можно решить?

Эта математическая программа подробно решает следующие неравенства с одной переменной.

Линейные
Неравенства сводящиеся к виду: $ ax+b > 0 $ (знак сравнения любой).
Например:

$ 2x-5 \leqslant 0 ; $

$ 2x-5 > 4-5x ; $

$ 2(x-5)+1 > 4-5x ; $

$ 2x^2-5x+7 \geqslant 2x^2-6x $

Квадратные
Неравенства сводящиеся к виду: $ ax^2+bx+c > 0 $ (знак сравнения любой).
Например:

$ 2x^2+4x-5 < 0 ; $

$ 6x-1 > x^2-x ; $

$ (x-2)^2+1 \leqslant 3x-5; $

и такое тоже $ -4x^3-5x+7 \geqslant -4x^3+x^2-6x+1 $

Дробные
Неравенства сводящиеся к виду: $ \Large \frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}\normalsize > 0 $ (знак сравнения любой).

Коэффициенты $ a_1 $ и $ a_2 $ могут быть нулевыми, т.е. и в числителе и в знаменателе дроби может быть и линейный и квадратный многочлен.
Например:

$$ \frac{-x^2+2x-3}{4x+1} > -3x-1 ; $$

$$ \frac{5}{4(x+1)(x-3)-x+6} < 2x-5 ; $$

$$ \frac{4x^2-2}{1-x-3x^2} < 2 ; $$

и т.д.

Разбитые на множители
Если в правой части - ноль, а в левой части полином(ы) разбит(ы) на линейные множители, т.е. множители вида $ ax+b $
Например:

$$ -(2x-1)x(x-2)^2 > 0 ; $$

$$ \frac{-1}{4(x+1)(x-3)^3} < 0 ; $$

$$ \frac{-4(2-3x)(2-x)}{x^2+x-5} \geqslant 0 ; $$

и т.д.

<< Назад (к решению неравенств)

Примеры подробного решения

Решить неравенство:

$$\frac{4 x^2-7 x+3}{3 x-1} \geqslant x-1$$

Решение:

$$\frac{4 x^2-7 x+3}{3 x-1} \geqslant x-1\Rightarrow $$

$$\frac{4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) }{3 x-1} \geqslant 0$$

Упрощение выражения $4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) $

$$4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) = $$

Раскрытие скобок:

$$4 x^2-7 x+3+ \left( -x+1 \right) \left( 3 x-1 \right) = $$

Раскрытие скобок:

$$4 x^2-7 x+3-3 x^2+x+3 x-1= $$

$$x^2-3 x+2$$

Ответ: $ x^2-3 x+2 $

Решим квадратное уравнение $ x^2-3 x+2= 0 $

Решение квадратного уравнения $ x^2-3 x+2= 0 $

Вычислим дискриминант.

$$D = b^2-4ac = 1$$

$$x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2} = \frac{3\pm1}{2} $$

Ответ: $ x_1 = 2,\; x_2 = 1 $

Решение по теореме Виета

Т.к. $ \left| a \right|=1 $, то можно воспользоваться теоремой Виета:

$$x^2+px+q=0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=3 \\ x_1 \cdot x_2=2 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1=2 \\ x_2=1 \end{array}\right.$$

Ответ: $ x_1= 2,\; x_2= 1 $

Корни квадратного уравнения:

$$ x_1 = 1 ;\; x_2 = 2 $$

Решим линейное уравнение $ 3 x-1= 0 $

Корень линейного уравнения: $ x = \frac{1}{3}$

Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:

$$ \frac{1}{3} $$

$$ 1 $$

$$ 2 $$

Ответ:

$$ x \in \left( \frac{1}{3} ;\; 1 \right] \cup \left[ 2 ;\; +\infty \right) $$

или

$$ \frac{1}{3} < x \leqslant 1 ;\;\; x \geqslant 2 $$

<< Назад (к решению неравенств)