Задача на нахождение интегралов (определенного и неопределенного). Описание.
Правила ввода функций
Знаки операций:+ - сложение,
- - вычитание,
* - умножение,
/ - деление,
^ - возведение в степень.
Знак умножения нужно вводить только между числами, во всех остальных случаях его можно не вводить.
Список функций:
| Функция | Описание | Пример ввода | Результат ввода |
|---|---|---|---|
| pi | Число \(\pi\) | pi | $$ \pi $$ |
| e | Число \(e\) | e | $$ e $$ |
| e^x | Степень числа \(e\) | e^(2x) | $$ e^{2x} $$ |
| exp(x) | Степень числа \(e\) | exp(1/3) | $$ \sqrt[3]{e} $$ |
| |x| abs(x) |
Модуль (абсолютное значение) числа \(x\) | |x-1| abs(cos(x)) |
\( |x-1| \) \( |\cos(x)| \) |
| sin(x) | Синус | sin(x-1) | $$ sin(x-1) $$ |
| cos(x) | Косинус | 1/(cos(x))^2 | $$ \frac{1}{cos^2(x)} $$ |
| tg(x) | Тангенс | x*tg(x) | $$ x \cdot tg(x) $$ |
| ctg(x) | Котангенс | 3ctg(1/x) | $$ 3 ctg \left( \frac{1}{x} \right) $$ |
| arcsin(x) | Арксинус | arcsin(x) | $$ arcsin(x) $$ |
| arccos(x) | Арккосинус | arccos(x) | $$ arccos(x) $$ |
| arctg(x) | Арктангенс | arctg(x) | $$ arctg(x) $$ |
| arcctg(x) | Арккотангенс | arcctg(x) | $$ arcctg(x) $$ |
| sqrt(x) | Квадратный корень | sqrt(1/x) | $$ \sqrt{\frac{1}{x}} $$ |
| root(n,x) | Корень степени n root(2,x) эквивалентно sqrt(x) |
root(4,exp(x)) | $$ \sqrt[4]{ e^{x} } $$ |
| x^(1/n) | Корень степени n x^(1/2) эквивалентно sqrt(x) |
(cos(x))^(1/3) | $$ \sqrt[\Large 3 \normalsize]{cos(x)} $$ |
| ln(x) log(x) log(e,x) |
Натуральный логарифм (основание - число e) |
1/ln(3-x) | $$ \frac{1}{ln(3-x)} $$ |
| log(10,x) | Десятичный логарифм числа x | log(10,x^2+x) | $$ log_{10}(x^2+x) $$ |
| log(a,x) | Логарифм x по основанию a | log(3,cos(x)) | $$ log_3(cos(x)) $$ |
| sh(x) | Гиперболический синус | sh(x-1) | $$ sh(x-1) $$ |
| ch(x) | Гиперболический косинус | ch(x) | $$ ch(x) $$ |
| th(x) | Гиперболический тангенс | th(x) | $$ th(x) $$ |
| cth(x) | Гиперболический котангенс | cth(x) | $$ cth(x) $$ |
Почему решение на английском языке?
При решении этой задачи используется большой и дорогой модуль одного "забугорного" сервиса. Решение он выдает в виде изображения и только на английском языке. Изменить это, к сожалению, нельзя. Ничего лучше мы найти не смогли. Зато он выводит подробное и очень качественное решение в том виде в котором оно принято в высших учебных заведениях. Единственное неудобство - на английском языке, но это не большая цена за качество.
Некоторые пояснения по выводу решения.| Вывод | Перевод, пояснение |
|---|---|
| Compute the definite integral | Вычислить определённый интеграл |
| Take the integral | Вычислить ("взять") интеграл |
| For the integrand ... , complete the square | Для интегрирования ... , выделяем полный квадрат |
| For the integrand ... , substitute | Для интегрирования ... , делаем подстановку |
| This gives a new lower bound ... and upper bound | Это дает новый нижний предел ... и верхний предел |
| Factor out constants | Выносим константы за знак интеграла |
| The antiderivative of ... is ... | Первообразная от ... это ... |
| Integrate the sum term by term and factor out constants | Интегрируем сумму почленно и выносим константы за знак интеграла |
| For the integrand ..., integrate by parts, ... where ... | Для вычисления интеграла ..., интегрируем по частям, ... где ... |
| Which is equal to ... | Это эквивалентно ... |
| Simplify the expression | Упрощаем выражение |
| Answer | Ответ |
| \(log(x)\) | Натуральный логарифм, основание - число e. У нас пишут \(ln(x)\) |
| \(arccos(x)\) или \(cos^{-1}(x)\) | Арккосинус. У нас пишут \( arccos(x) \) |
| \(arcsin(x)\) или \(sin^{-1}(x)\) | Арксинус. У нас пишут \( arcsin(x) \) |
| \(tan(x)\) | Тангенс. У нас пишут \(tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}\) |
| \(arctan(x)\) или \(tan^{-1}(x)\) | Арктангенс. У нас пишут \(arctg(x)\) |
| \(cot(x)\) | Котангенс. У нас пишут \(ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}\) |
| \(arccot(x)\) или \(cot^{-1}(x)\) | Арккотангенс. У нас пишут \(arcctg(x)\) |
| \(sec(x)\) | Секанс. У нас пишут также \(sec(x) = \frac{1}{cos(x)}\) |
| \(csc(x)\) | Косеканс. У нас пишут \(cosec(x) = \frac{1}{sin(x)}\) |
| \(cosh(x)\) | Гиперболический косинус. У нас пишут \(ch(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \) |
| \(sinh(x)\) | Гиперболический синус. У нас пишут \(sh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \) |
| \(tanh(x)\) | Гиперболический тангенс. У нас пишут \(th(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \) |
| \(coth(x)\) | Гиперболический котангенс. У нас пишут \(cth(x) = \frac{1}{th(x)} \) |
Если вам что-то осталось не понятно обязательно напишите об этом в Обратной связи и мы дополним эту таблицу.
Примеры подробного вычисления интеграла
Пример №1
Вычислить интеграл $$ \int\limits_1^2 \frac{1}{x^2+x+1} dx $$ Решение
Пример №2
Вычислить интеграл $$ \int (x^2-2x+5)e^{-x} dx $$ Решение
