Предел функции при \( x \to x_0 \)
Пусть функция \( f(x) \) определена на некотором множестве \(X\) и пусть точка \( x_0 \in X \) или \( x_0 \notin X \)
Возьмем из \(X\) последовательность точек, отличных от \(x_0\) :
\(x_1 \;, \; x_2 \;, \; x_3 \;, ..., \; x_n \; , \; ... \tag{1} \)
сходящуюся к \(x^*\).
Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
\( f(x_1) \;, \; f(x_2) \;, \; f(x_3) \;, ..., \; f(x_n) \; , \; ... \tag{2} \)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \( x = x_0 \) (или при \( x \to x_0 \) ), если для
любой сходящейся к \(x_0\) последовательности (1) значений аргумента \(x\), отличных от \(x_0\) соответствующая
последовательность (2) значений функции сходится к числу \(A\).
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$
Функция \(f(x)\) может иметь в точке \(x_0\) только один предел. Это следует из того, что последовательность \( \left\{ f(x_n) \right\} \)
имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любого числа \( \varepsilon > 0 \)
существует число \( \delta > 0 \) такое, что для всех \( x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \( |x-x_0| < \delta \),
выполняется неравенство \( |f(x)-A| < \varepsilon \)
Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| < \delta): |f(x)-A| < \varepsilon \)
Отметим, что неравенства \( x \neq x_0, \; |x-x_0| < \delta \) можно записать в виде \( 0 < |x-x_0| < \delta \)
<>Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей».
Второе определение называют определением «на языке \( \varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне,
а определение предела функции «на языке \( \varepsilon - \delta \)» — определением предела функции по Коши.
Предел функции при \( x \to x_{0-} \) и при \( x \to x_{0+} \)
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число \(A\) называется правым (левым) пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любой сходящейся
к \(x_0\) последовательности (1), элементы \(x_n\) которой больше (меньше) \(x_0\), соответствующая
последовательность (2) сходится к \(A\).
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_{0+}} f(x) = A \; \left( \lim_{x \to x_{0-}} f(x) = A \right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \( \varepsilon - \delta \)»:
Определение число \(A\) называется правым (левым) пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любого
\( \varepsilon > 0 \) существует \( \delta > 0 \) такое, что для всех \(x\), удовлетворяющих неравенствам
\( x_0 < x < x_0 + \delta \; (x_0 -\delta < x < x_0 ) \) , выполняется неравенство \( |f(x)-A| < \varepsilon \).
Символические записи:
\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 < x < x_0 + \delta ): |f(x)-A| < \varepsilon \)
\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 -\delta < x < x_0 ): |f(x)-A| < \varepsilon \)
Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.
Теорема
Функция \(f(x)\) имеет в точке \(x_0\) предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы,
и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Предел функции при \( x \to \infty \), при \( x \to -\infty \) и при \( x \to +\infty \)
Кроме рассмотренных понятий предела функции при \( x \to x_0 \) и односторонних пределов существует также понятие предела функции
при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) при \( x \to \infty \), если для любой бесконечно большой
последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к \(A\).
Символическая запись:
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = A $$
Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) при \( x \to +\infty \; (x \to -\infty) \) , если для любой бесконечно
большой последовательности значений аргумента, элементы \(x_n\) которой положительны (отрицательны), соответствующая
последовательность значений функции сходится к \(A\).
Символическая запись:
$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \; \left( \lim_{x \to -\infty} f(x) = A \right) $$
Теоремы о пределах функций
Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах
последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.
Теорема. Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют в точке \(x_0\) пределы \(B\) и \(C\). Тогда функции \( f(x) \pm g(x) \; , \; f(x) \cdot g(x) \) и
\( \frac{f(x)}{g(x)} \) (при \( C \neq 0 \) ) имеют в точке \(x_0\) пределы, равные соответственно \( B \pm C \; , \; B \cdot C \), и \( \frac{B}{C} \).
Теорема. Пусть функции \( f(x) \; , \; g(x) \) и \( h(x) \) определены в некоторой окрестности точки \(x_0\), за исключением, быть
может, самой точки \(x_0\), и функции \( f(x) \; , \; h(x) \) имеют в точке \(x_0\) предел, равный \(A\), т.е.
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A $$
Пусть, кроме того, выполняются неравенства \( f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) \).
Тогда $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = A $$
Теорема Лопиталя. Если $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 $$ или \(\infty \), \(f(x)\) и \(g(x)\)
дифференцируемы в окрестности \(x_0\) , и \( g'(x) \neq 0 \) в окрестности \(x_0\) ,
и существует $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$ то существует $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида \( \frac{0}{0} \) и \( \frac{\infty}{\infty} \).
Первый замечательный предел
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
Второй замечательный предел
$$ \lim_{x \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{x} \right)^x = e $$
