Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \( x_0 \in X \) или \( x_0 \notin X \)
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х0:
x1, x2, x3, ..., xn, ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x1), f(x2), f(x3), ..., f(xn), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение. Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х0 (или при х -> x0), если для
любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x0 соответствующая
последовательность (2) значений функции сходится к числу A.
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$
Функция f(x) может иметь в точке x0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(xn)}
имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x0, если для любого числа \( \varepsilon > 0 \)
существует число \( \delta > 0 \) такое, что для всех \( x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \( |x-x_0| < \delta \),
выполняется неравенство \( |f(x)-A| < \varepsilon \)
Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| < \delta): |f(x)-A| < \varepsilon \)
Отметим, что неравенства \( x \neq x_0, \; |x-x_0| < \delta \) можно записать в виде \( 0 < |x-x_0| < \delta \)
Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \( \varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне,
а определение предела функции «на языке \( \varepsilon - \delta \)» — определением предела функции по Коши.
Предел функции при x->x0- и при x->x0+
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x0, если для любой сходящейся
к x0 последовательности (1), элементы xn которой больше (меньше) x0, соответствующая
последовательность (2) сходится к А.
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left( \lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \( \varepsilon - \delta \)»:
Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x0, если для любого
\( \varepsilon > 0 \) существует \( \delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам
\( x_0 < x < x_0 + \delta \; (x_0 -\delta < x < x_0 ) \) , выполняется неравенство \( |f(x)-A| < \varepsilon \).
Символические записи:
\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 < x < x_0 + \delta ): |f(x)-A| < \varepsilon \)
\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 -\delta < x < x_0 ): |f(x)-A| < \varepsilon \)
Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.
Теорема
Функция f(х) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы,
и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Предел функции при \( x \to \infty \), при \( x \to -\infty \) и при \( x \to +\infty \)
Кроме рассмотренных понятий предела функции при x->x0 и односторонних пределов существует также понятие предела функции
при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при \( x \to \infty \), если для любой бесконечно большой
последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Символическая запись:
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = A $$
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при \( x \to +\infty \; (x \to -\infty) \) , если для любой бесконечно
большой последовательности значений аргумента, элементы xn которой положительны (отрицательны), соответствующая
последовательность значений функции сходится к А.
Символическая запись:
$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \; \left( \lim_{x \to -\infty} f(x) = A \right) $$
Теоремы о пределах функций
Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах
последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.
Теорема. Пусть функции f(х) и g(х) имеют в точке x0 пределы В и С. Тогда функции f(x)±g(x), f(x) g(x) и
\( \frac{f(x)}{g(x)} \) (при \( C \neq 0 \) ) имеют в точке x0 пределы, равные соответственно В±С, ВС и \( \frac{B}{C} \).
Теорема. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть
может, самой точки x0, и функции f(х), h(x) имеют в точке x0 предел, равный А, т.е.
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A $$
Пусть, кроме того, выполняются неравенства \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \).
Тогда $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = A $$
Теорема Лопиталя. Если $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 $$ или \(\infty \) f(x) и g(x)
дифференцируемы в окрестности x0 , и \( g'(x) \neq 0 \) в окрестности x0 ,
и существует $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$ то существует $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида \( \frac{0}{0} \) и \( \frac{\infty}{\infty} \).
Первый замечательный предел
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
Второй замечательный предел
$$ \lim_{x \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{x} \right)^x = e $$
