Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о логарифмической функции и логарифмах и некоторые методы решения логарифмических уравнений.

Примеры подробного решения >>

Задача 1. Найти положительный корень уравнения x⁴ = 81
По определению арифметического корня имеем \( x = \sqrt[4]{81} = 3 \)

Задача 2. Решить уравнение 3^x = 81
Запишем данное уравнение так: 3^x = 3⁴, откуда x = 4

В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3^x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
Уравнение a^x = b, где a > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b no основанию a и обозначают log_ab
Например, корнем уравнения 3^x = 81 является число 4, т.е. log₃81 = 4.

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, \( a \neq 1 \), называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b

Например:

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.

Вычислить log₆₄128
Обозначим log₆₄128 = х. По определению логарифма 64^x = 128. Так как 64 = 2⁶, 128 = 2⁷, то 2 ^6x = 2⁷, откуда 6x = 7, х = 7/6.
Ответ log₆₄128 = 7/6

Вычислить \( 3^{-2\log_3 5} \)
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

Решить уравнение log₃(1-x) = 2
По определению логарифма 3² = 1 - x, откуда x = -8

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

1) log_a(bc) = log_ab + log_ac

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
lg b вместо log₁₀b

Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо log_eb

Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
$$ e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n} + \dots $$

Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма:

Следствия из формулы замены основания логарифма.
При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
$$ \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a} , \;\; \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} $$

В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = log_ax
где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1 \)

Логарифмическая функция обладает свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.

2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

4) Логарифмическая функция y = log_ax является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если a > 1,
и убывающей, если 0 < a < 1.

5) Если a > 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при х > 1,
отрицательные при 0 < x < 1.
Если 0 < a < 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при 0 < х < 1,
отрицательные при х > 1.

Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = log_ax

Отметим, что график любой логарифмической функции y = log_ax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Теорема. Если log_ax₁ = log_ax₂ где a > 0, \( a \neq 1 \), x₁ > 0, x₂ > 0, то x₁ = x₂

Логарифмическая функция y = log_ax и показательная функция y = a^x, где a > 0, \( a \neq 1 \), взаимно обратны.

Решить уравнение log₂(x+1) + log₂(x+3) = 3
Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма верно равенство
log₂((x+1)(x+3)) = 3
Из этого равенства по определению логарифма получаем
(x+1)(x+3) = 8
х² + 4х + 3 = 8, т.е. х² + 4x - 5 = 0, откуда x₁ = 1, х₂ = -5
Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
log₂(1+1) + log₂(1+3) = log₂2 + log₂4 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого уравнения.
Ответ x = 1

Решить уравнение lg(2x² - 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
По свойству логарифмов
lg(2x² - 4x + 12) = lg(x² + 3x)
откуда
2x² - 4x + 12 = x² + 3x
x² - 7x + 12 = 0
x₁ = 3, х₂ = 4
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x₁ = 3, х₂ = 4

Решить уравнение log₄(2x - 1) • log₄x = 2 log₄(2x - 1)
Преобразуем данное уравнение:
log₄(2x - 1) • log₄x - 2 log₄(2x - 1) = 0
log₄(2х - 1) • (log₄ x - 2) = 0
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
1) log₄ (2х - 1) = 0, откуда 2х - 1 = 1, х₁ = 1
2) log₄ х - 2 = 0, откуда log₄ = 2, х₂ = 16
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x₁ = 1, х₂ = 16