Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Решение логарифмических неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое неравенство. Программа для решения логарифмического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию решения логарифмических неравенств и некоторые методы решения логарифмических неравенств.

Примеры подробного решения >>

ln(b) или log(b) или log(e,b)- натуральный логарифм числа b
log(10,b) - десятичный логарифм числа b
log(a,b) - логарифм b по основанию a

Введите логарифмическое неравенство
Решить неравенство


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудьте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.


Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Логарифмические неравенства

Неравенства вида
\( log_ax > b \) и \( log_ax < b \),
где \( a>0, \; a \neq 1, \; b \in \mathbb{R} \)
называют простейшими логарифмическими неравенствами.

Эти неравенства можно переписать в виде
\( log_ax > log_aс \) и \( log_ax < log_aс \), где \( c = a^b \)

Случай \( a > 1\)

Функция \(y = log_ax \) возрастает на всей своей области определения, т.е. на интервале \( (0; \; +\infty) \). Поэтому для любого числа \(x > c\) справедливо неравенство \( log_ax > log_aс \), а для любого \( x \in (0; \; c) \) справедливо неравенство \( log_ax < log_aс \). Кроме того, равенство \( log_ax = log_aс \) верно лишь при \( x = c \).

Таким образом, при \( a > 1\) и \( b \in \mathbb{R} \) множество всех решений неравенства \( log_ax > log_aс \) есть интервал \( (c; \; +\infty) \), а множество всех решений неравенства \( log_ax < log_aс \) есть интервал \( (0; \; c) \).

Случай \( 0 < a < 1 \)

Функция \(y = log_ax \) убывает. Поэтому для любого числа \(x > c\) справедливо неравенство \( log_ax < log_aс \), а для любого \( x \in (0; \; c) \) справедливо неравенство \( log_ax > log_aс \). Кроме того, равенство \( log_ax = log_aс \) справедливо лишь при \( x = c \).

Таким образом, при \( 0 < a < 1 \) и \( b \in \mathbb{R} \) множество всех решений неравенства \( log_ax > log_aс \) есть интервал \( (0; \; c) \), а множество всех решений неравенства \( log_ax < log_aс \) есть интервал \( (c; \; +\infty) \).

ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( log_{\frac{1}{3}}x > -2\)

Так как \( -2 = log_{\frac{1}{3}}9 \), то неравенство можно переписать в виде \( log_{\frac{1}{3}}x > log_{\frac{1}{3}}9 \)

Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), то функция \( y = log_{\frac{1}{3}}x \) убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства есть интервал \( 0 < x < 9 \).
Ответ: \( (0; \; 9) \)

ПРИМЕР 2. Решим неравенство \( log_4x > \frac{1}{2} \)

Так как \( \frac{1}{2} = log_42 \), то неравенство можно переписать в виде \( log_4x > log_42 \)

Так как \(4 > 1 \), то функция \( y = log_4x \) возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства есть интервал \( (2; \; +\infty) \).
Ответ: \( (2; \; +\infty) \)

ПРИМЕР 3. Решим неравенство \( log_3x - 3log_9x - log_{81}x > 1{,}5 \)
Так как
$$ log_9x = \frac{log_3x}{log_39} = \frac{log_3x}{2} = \frac{1}{2} log_3x ,$$
$$ log_{81}x = \frac{log_3x}{log_381} = \frac{log_3x}{4} = \frac{1}{4} log_3x ,$$
то неравенство можно переписать в виде
\( \left( 1- \frac{3}{2} -\frac{1}{4} \right) log_3x > 1{,}5 \Rightarrow \)
\( log_3x < log_3\frac{1}{9} \)
Так как \(3 > 1 \), то функция \( y = log_3x \) возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства есть интервал \( (0; \; \frac{1}{9}) \)
Ответ: \( (0; \; \frac{1}{9}) \)