Калькулятор онлайн. Решение логарифмических неравенств.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое неравенство.
Программа для решения логарифмического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
ln(b) или log(b) или log(e,b)- натуральный логарифм числа b log(10,b) - десятичный логарифм числа b log(a,b) - логарифм b по основанию a
Введите логарифмическое неравенство
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock. В этом случае отключите его и обновите страницу.
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже. Пожалуйста подождите сек...
Неравенства вида
\( log_ax > b \) и \( log_ax < b \),
где \( a>0, \; a \neq 1, \; b \in \mathbb{R} \)
называют простейшими логарифмическими неравенствами.
Эти неравенства можно переписать в виде
\( log_ax > log_aс \) и \( log_ax < log_aс \), где \( c = a^b \)
Случай \( a > 1\)
Функция \(y = log_ax \) возрастает на всей своей области определения, т.е. на интервале \( (0; \; +\infty) \).
Поэтому для любого числа \(x > c\) справедливо неравенство \( log_ax > log_aс \), а для любого
\( x \in (0; \; c) \) справедливо неравенство \( log_ax < log_aс \). Кроме того, равенство \( log_ax = log_aс \)
верно лишь при \( x = c \).
Таким образом, при \( a > 1\) и \( b \in \mathbb{R} \) множество всех решений неравенства \( log_ax > log_aс \) есть
интервал \( (c; \; +\infty) \), а множество всех решений неравенства \( log_ax < log_aс \) есть интервал \( (0; \; c) \).
Случай \( 0 < a < 1 \)
Функция \(y = log_ax \) убывает. Поэтому для любого числа \(x > c\) справедливо неравенство \( log_ax < log_aс \),
а для любого \( x \in (0; \; c) \) справедливо неравенство \( log_ax > log_aс \). Кроме того, равенство \( log_ax = log_aс \)
справедливо лишь при \( x = c \).
Таким образом, при \( 0 < a < 1 \) и \( b \in \mathbb{R} \) множество всех решений неравенства \( log_ax > log_aс \) есть
интервал \( (0; \; c) \), а множество всех решений неравенства \( log_ax < log_aс \) есть интервал \( (c; \; +\infty) \).
ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( log_{\frac{1}{3}}x > -2\)
Так как \( -2 = log_{\frac{1}{3}}9 \), то неравенство можно переписать в виде \( log_{\frac{1}{3}}x > log_{\frac{1}{3}}9 \)
Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), то функция \( y = log_{\frac{1}{3}}x \) убывающая.
Поэтому множество всех решений неравенства есть интервал \( 0 < x < 9 \).
Ответ: \( (0; \; 9) \)
ПРИМЕР 2. Решим неравенство \( log_4x > \frac{1}{2} \)
Так как \( \frac{1}{2} = log_42 \), то неравенство можно переписать в виде \( log_4x > log_42 \)
Так как \(4 > 1 \), то функция \( y = log_4x \) возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства есть
интервал \( (2; \; +\infty) \).
Ответ: \( (2; \; +\infty) \)
ПРИМЕР 3. Решим неравенство \( log_3x - 3log_9x - log_{81}x > 1{,}5 \)
Так как
$$ log_9x = \frac{log_3x}{log_39} = \frac{log_3x}{2} = \frac{1}{2} log_3x ,$$
$$ log_{81}x = \frac{log_3x}{log_381} = \frac{log_3x}{4} = \frac{1}{4} log_3x ,$$
то неравенство можно переписать в виде
\( \left( 1- \frac{3}{2} -\frac{1}{4} \right) log_3x > 1{,}5 \Rightarrow \)
\( log_3x < log_3\frac{1}{9} \)
Так как \(3 > 1 \), то функция \( y = log_3x \) возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства есть
интервал \( (0; \; \frac{1}{9}) \)
Ответ: \( (0; \; \frac{1}{9}) \)