Этот калькулятор онлайн вычисляет расстояния от точки до плоскости заданной в виде общего уравнения плоскости:
$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

Онлайн калькулятор для вычисления расстояния от точки до плоскости не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Наш онлайн калькулятор дает не только ответ задачи, но и отображает процесс решения по шагам. В результате вы сможете понять процесс решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольная плоскость \( \pi \) (см. рисунок).

Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости \( \pi \). Будем называть ее нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пересекает плоскость \( \pi \). На нормали введем направление от точки О к точке Р. Если точки О и Р совпадают, то возьмем любое из двух направлений на нормали. Пусть \( \alpha, \; \beta, \; \gamma \) — углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат; p — длина отрезка OP.

Выведем уравнение данной плоскости \( \pi \), считая известными числа \( \cos\alpha, \; \cos\beta, \; \cos\gamma \) и р. Для этого введем единичный вектор n на нормали, направление которого совпадает с положительным направлением нормали. Так как n — единичный вектор, то
\( \vec{n} = (\cos\alpha; \;\; \cos\beta; \;\; \cos\gamma) \tag{5} \)

Пусть М (x; y; z) — произвольная точка. Она лежит на плоскости \( \pi \) тогда и только тогда, когда проекция вектора OM на нормаль равна p, т.е.
$$ Пр_{\vec{n}} \overrightarrow{OM} = p \tag{6} $$

Заметим теперь, что \( Пр_{\vec{n}} \overrightarrow{OM} = \vec{n} \cdot \overrightarrow{OM} \) и \( \vec{OM} = (x;\; y; \; z) \) Тогда, учитывая равенство (5)

Из равенств (6) и (7) получаем, что точка М(х; у; z) лежит на плоскости \( \pi \) тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

Теорема
Если точка М* имеет координаты х*, у*, z*, и плоскость задана нормальным уравнением

Покажем теперь, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть
\( Ax+By+Cz+D=0 \tag{11} \)
— общее уравнение некоторой плоскости, а
\( x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 \tag{12} \)
— ее нормальное уравнение. Так как уравнения (11) и (12) определяют одну и ту же плоскость, то по теореме коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что умножая все члены (11) на некоторый множитель \( \mu \), получаем уравнение
\( \mu Ax + \mu By + \mu Cz + \mu D=0 \)
совпадающее с уравнением (12), т.е. имеем
\( \mu A = \cos \alpha, \;\; \mu B = \cos\beta, \;\; \mu C = \cos\gamma, \;\; \mu D = -p \tag{13} \)

Чтобы найти множитель \( \mu \), возведем первые три из равенств (13) в квадрат и сложим; тогда получим
\( \mu^2(A^2+B^2+C^2) = \cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos ^2\gamma \)
Но правая часть последнего равенства равна единице. Следовательно,
$$ \mu = \pm \frac{1}{ \sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

Число \( \mu \), с помощью которого общее уравнение плоскости преобразуется в нормальное, называется нормирующим множителем этого уравнения. Знак \( \mu \) определяется равенством \( \mu D = -p \), т.е. \( \mu \) имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего уравнения (11).

Если в уравнении (11) D=0, то знак нормирующего множителя выбирается произвольно.