Решение задач по математике онлайн

Калькулятор онлайн.
Операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень.
Вычисление определителя матрицы, обратной матрицы, ранга матрицы.

С помощью данной математической программы вы сможете выполнить основные операции над матрицами.

Программа не только даёт ответ, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ или вузов при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые и дробные.
Дробные числа можно вводить в 3-х различных видах:
  • в виде десятичных дробей,
  • в виде обыкновенных дробей,
  • в виде периодических десятичных дробей.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: \( -2{,}34 \)

Ввод: -1,15
Результат: \( -1{,}15 \)

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac{2}{3} $$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac{8}{3} $$
Помните, что на ноль делить нельзя!

Ввод дробного числа в виде периодической десятичной дроби.
В периодических десятичных дробях период заключается в скобки.
Ввод: 0,(72)
Результат: $$ \frac{8}{11} $$
Ввод: -2,3(4)
Результат: $$ -2\frac{31}{90} $$
Правила ввода матричного выражения
При вводе матричного выражения можно использовать стандартные алгебраические операции:
+ - сложение,
- - вычитание,
* - умножение,
/ - деление,
^ - возведение в степень.

Сложение и вычитание матриц
При сложении и вычитании матриц их размеры должны быть одинаковыми.
Это значит что при вычислении \( A \pm B \) кол-во строк и столбцов матриц \( A \) и \( B \) должно быть одинаковым.

Умножение матриц
При умножении матриц \( A \cdot B \) кол-во столбцов \(A\) должно быть равно кол-ву строк \(B\)

Деление на матрицу
Деление на матрицу операция специфическая, потому что операция "деление" для матриц не определена.
Но операцию \( \frac{A}{B} \) обычно раскрывают так: \( A \cdot B^{-1} \), т.е. умножить \( A \) на обратную матрицу к \( B \) справа. Т.о. для вычисления \( \frac{A}{B} \) должны выполняться условия:
  • \( B^{-1} \) должна существовать,
  • возможно умножить \( A \) на \( B^{-1} \)

Возведение матрицы в степень
Ввод: A^2
Результат: $$ A^2 $$
Ввод: (A+B)^-1
Результат: $$ (A+B)^{-1} $$

Для вычисления \( A^n \) показатель степени \(n\) должен быть целым числом.

Если показатель степени = -1, то это интерпретируется как вычисление обратной матрицы.

Матричнные функции

Функция Описание Пример ввода Результат ввода
det(A)
|A|
Вычисление определителя матрицы.
Матрица A должна быть квадратной.
deta
|A+B|
\( |A| \)
\( |A+B| \)
inv(A)
A-1
Вычисление обратной матрицы.
Матрица A должна быть квадратной.
2.(3)*a^-1
A*inv(B)
\( 2\frac{3}{9} \cdot A^{-1} \)
\( A \cdot B^{-1} \)
AT Вычисление транспонированной матрицы. A^T+2B \( A^T + 2 \cdot B\)
rang(A) Вычисление ранга матрицы ranga
rang(inv(B))
\( \text{rang}(A) \)
\( \text{rang} \left( B^{-1} \right) \)

Если в вычислениях используется только одна матрица, то вторую можно не вводить.
Матрица A

Матрица B





Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Матрицы и операции над ними

Виды матриц

Определение 1.
Матрицей размера \(m \times n \) называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из \(mn\) чисел, которые расположены в \(m\) строках и \(n\) столбцах. Составляющие матрицу числа называют элементами этой матрицы.

Как правило, их обозначают строчной буквой с двумя индексами, например \(a_{ij}\), где \(i\) — номер строки ( \(i=\overline{1,m} \) ), \(j\) — номер столбца ( \(j=\overline{1,n} \) ), в которых расположен этот элемент.

Матрицу записывают так:
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} $$

Если по тексту ясно, в каких пределах изменяются индексы \(i\) и \(j\), то сокращённо матрицу можно записать так: \( \left(a_{ij} \right) \). Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой: \(A\), \(B\) и т.д.

Элементами матриц могут быть не только действительные числа, но и комплексные, и даже другие математические объекты. Например, элементами матриц могут быть многочлены или матрицы.

Матрицу называют матрицей-строкой, если матрица имеет размер \(1 \times n \), т.е. если у матрицы всего одна строка. Число элементов в матрице-строке называют её длиной.
\(A=(a_1, \; ...,\; a_n) \)

Матрицу называют матрицей-столбцом, если матрица имеет размер \(m \times 1 \), т.е. если у матрицы один столбец. Число элементов в матрице-столбце называют её высотой.
\(A = \begin{pmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{m} \\ \end{pmatrix} \)

Матрицу называют квадратной порядка \(n\), если \( m=n\), т.е. когда матрица имеет столько же столбцов, сколько и строк :
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ а если \(m \neq n \) — прямоугольной.

У квадратных матриц выделяют последовательности элементов \( a_{11}, \; a_{22}, \; ..., \; a_{nn} \) — главную диагональ, и \( a_{n1}, \; a_{n-1,2}, \; ..., \; a_{1n} \) — побочную диагональ. Элементы главной диагонали называют диагональными. Понятия диагонального элемента и главной диагонали распространяют и на прямоугольные матрицы.

Если в квадратной матрице порядка \(n\) все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, т.е. если матрица имеет вид
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$,
то её называют диагональной к обозначают \( \text{diag} (a_{11}, \; ..., \; a_{nn} ) \).
Если в диагональной матрице порядка \(n\) на диагонали стоят единицы, то её называют единичной и обозначают обычно \(E\) :
$$ E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} $$,

Матрицу размера \(m \times n \), все элементы которой равны нулю, называют нулевой матрицей соответствующего размера и обозначают буквой \(\Theta\) или цифрой 0.

Часто используют матрицы и других видов, например верхние треугольные матрицы
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$
у которых элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, и нижние треугольные матрицы, у которых, наоборот, элементы над главной диагональю равны нулю:
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$

Ступенчатой матрицей (матрицей ступенчатого вида) называют матрицу размера \(m \times n \), если для любой её строки выполнено следующее условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.
Следующие матрицы имеют ступенчатый вид:
\( \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \)

Линейные операции над матрицами

Определение 2.
Две матрицы называют равными, если они имеют один и тот же размер и если у них совпадают соответствующие элементы.

Определение 3.
Суммой матриц \( A=(a_{ij}) \) и \( B=(b_{ij}) \) размера \(m \times n \) называют матрицу \( C=(c_{ij}) \) того же размера с элементами \( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \; i=\overline{1,m} , \; j=\overline{1,n} \)

В подробной записи:
\( A+B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} + \) \( \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{pmatrix} = \) \( \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\ \end{pmatrix} = C \)

Сумма определена только для матриц одного размера.

Определение 4.
Произведением матрицы \( A=(a_{ij}) \) размера \(m \times n \) на число \( k \in \mathbb{R}\) называют матрицу \( C=(c_{ij}) \) размера \(m \times n \) с элементами \( c_{ij} = k \cdot a_{ij} \).
Подробно это произведение выглядит так:
\( k \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} = \) \( \begin{pmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \cdots & k \cdot a_{1n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \cdots & k \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k \cdot a_{m1} & k \cdot a_{m2} & \cdots & k \cdot a_{mn} \\ \end{pmatrix} \)

Замечание. Операции сложения и умножения на число для матриц аналогичны одноименным операциям над векторами. Эти операции также называют линейными.

Свойства линейных операций над матрицами

1. Сложение матриц коммутативно: \( A+B = B+A \)

2. Сложение матриц ассоциативно: \( (A+B)+C = A+(B+C) \)

3. Умножение матрицы на число ассоциативно: \( (\lambda \mu ) A = \lambda (\mu A) \)

4. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы действительных чисел: \( (\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A \)

5. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц: \( \lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B \)

Транспонирование матриц

Определение 5.
Для матрицы \( A=(a_{ij}) \) размера \(m \times n \) её транспонированной матрицей называют матрицу \( A^T=(c_{ij}) \) размера \(m \times n \) с элементами \( c_{ij} = a_{ji} \).

При транспонировании матрицы её строки становятся столбцами новой матрицы с сохранением их порядка. Точно так же столбцы исходной матрицы превращаются в строки транспонированной. Поэтому транспонирование можно рассматривать как преобразование симметрии матрицы относительно её главной диагонали.
Подробнее:
\( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} ^T = \) \( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \)

Примеры:
\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} ^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 4 & 0 \\ \end{pmatrix} , \;\;\; \) \( (a_1, \; ..., \; a_n )^T = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} \)

Свойства операции транспонирования

1. \( \left( A^T \right) ^T = A \)

2. \( \left( A+B \right) ^T = A^T + B^T \)

3. \( (k A)^T = k A^T \; , \; k \in \mathbb{R} \)

4. \( (A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T \)

5. \( |A| = \left| A^T \right| \) При транспонировании определитель матрицы не меняется.

Умножение матриц

Определение 6.
Пусть даны матрица \( A=(a_{ij}) \) размера \(m \times n \) и матрица \( B=(b_{ij}) \) размера \(n \times p \). Произведением матриц \(A\) и \(B\) называют матрицу \( C=(c_{ij}) \) размера \(m \times p \) с элементами
$$ c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} $$
которую обозначают \( C = AB\).

Произведение определено лишь в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго. В формировании элемента \(c_{ij}\) произведения \(AB\) участвуют элементы \(i\)-й строки матрицы \(A\) и \(j\)-го столбца матрицы \(B\). Поэтому правило умножения матриц называют также правилом умножения "строка на столбец":

Иллюстрации умножения матриц :
Умножение матриц Умножение матриц

Умножение матрицы-строки \(X\) размера \(1 \times n \) на матрицу-столбец \(Y\) размера \(n \times 1 \) дает матрицу размера \(1 \times 1 \), которую отождествляют с числом:
$$ XY = (x_1, \; ..., \; x_n) \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{pmatrix} = (x_1y_1 + ... + x_ny_n ) = \sum_{k=1}^n x_k y_k $$

Таким образом, произведение любой матрицы-строки и любой матрицы-столбца, имеющих одинаковое количество элементов, есть число, равное сумме произведений их элементов с одинаковыми индексами. Если матрица-строка и матрица-столбец имеют разное количество элементов, то их перемножить нельзя.

Чтобы матрицу \(A\) размера \(m \times n \) можно было умножить на матрицу \(B\) и слева, и справа (т.е. чтобы были определены оба произведения \(BA\) и \(AB\) ), матрица \(B\) должна иметь размер \(n \times m \).

Свойства умножения матриц

1. Умножение матриц ассоциативно: \( (AB)C = A(BC) \)

2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц: \( (A+B)C = AC+BC \)

3. Для любых матриц \(A\) и \(B\) размеров \(m \times n \) и \(n \times k \) выполнено равенство \( (AB)^T = B^T A^T \), т.е. транспонированное произведение двух матриц равно произведению в обратном порядке транспонированных матриц.

4. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. \( AB \neq BA \)

Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения квадратной матрицы в натуральную степень.
\(A^0 = E \), где \(E\) — единичная матрица того же порядка.
\( A^1 = A, \;\; A^{n+1} = AA^n, \;\; n=1,2,... \)
Отметим, что две степени \(A^n\) и \(A^m\) одной и той же матрицы являются матрицами одного порядка и перестановочны: \(A^nA^m = A^mA^n = A^{n+m}\).

Элементарные преобразования матриц

Следующие три операции называют элементарными преобразованиями строк матрицы :

1. Умножение строки матрицы на число не равное нулю.

2. Перестановка двух строк матрицы.

3. Суммирование одной строки с другой строкой, умноженной на число.

Аналогичные операции над столбцами матрицы называют элементарными преобразованиями столбцов.

Каждое элементарное преобразование строк или столбцов матрицы имеет обратное элементарное преобразование, которое преобразованную матрицу превращает в исходную.

Теорема. С помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Определители

Определители n-го порядка

В теории определителей n-го порядка используются понятия перестановки, подстановки и их четности. Всякое расположение чисел \( 1,\; 2,\; 3,\; ...,\; n \) в определенном порядке называют перестановкой из \(n\) чисел.
Из \(n\) чисел можно образовать \(n!\) различных перестановок.
В общем случае перестановку записывают в виде матрицы-строки \( \alpha = (\alpha_1,\; \alpha_2,\; ...,\; \alpha_n ) \)
Перестановку \( (1,\; 2,\; 3,\; ...,\; n) \) называют нормальной.

Два числа \(\alpha_i\) и \(\alpha_j\) в перестановке \( \alpha = (\alpha_1,\; ...,\; \alpha_n ) \) образуют инверсию, если \(\alpha_j > \alpha_i \) но при этом \(\alpha_i\) стоит в перестановке правее \(\alpha_j\) (т.е. \(i>j\) ).
Общее количество инверсий в перестановке \(\alpha \) обозначают \( |\alpha | \), и если это число четное, то перестановку называют четной, а если оно нечетное — нечетной.

Транспозицией перестановки называют такое её преобразование, при котором в ней меняются местами какие-либо два элемента, а другие остаются на своих местах.

Теорема. Любая транспозиция меняет четность перестановки.

Из двух перестановок \( ( \alpha_1,\; ...,\; \alpha_n ) \) и \( ( \beta_1,\; ...,\; \beta_n ) \) одних и тех же чисел можно составить новый объект
$$ \sigma = \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{pmatrix} , \tag{1} $$
который называют подстановкой n-й степени.

Подстановку называют четной, если перестановки, из которых она состоит, имеют одинаковую четность, и нечетной в противоположном случае.
Четность подстановки \( (1) \) совпадает с четностью числа \( |\beta|+|\alpha| \) — общего количества инверсий в строках подстановки, которое обозначают \( |\sigma| \).

Транспозицией подстановки называют любую перестановку её столбцов. Поскольку транспозиция подстановки вызывает транспозиции и в образующих её перестановках, то, согласно предыдущей теореме, очевидно, что транспозиция подстановки не меняет её четность.

Каждая подстановка вида \( (1) \) задает взаимно однозначное отображение множества чисел \( 1,\; 2,\; 3,\; ...,\; n \) на себя, при котором \( \beta_1 \) отображается в \( \alpha_1 \; , \; \beta_2 \) — в \( \alpha_2\) и т.д.
В соответствии с интерпретацией подстановок как отображений две подстановки считают равными, если они отличаются только порядком записи своих столбцов.
Например, подстановки
\( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \;\; и \;\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ \end{pmatrix} \)
равны, так как вторая получается из первой перестановкой столбцов.

Соглашение о равенстве подстановок позволяет записать любую подстановку так, чтобы первая строка являлась нормальной перестановкой. Поэтому различных подстановок \(n\)-й степени имеется ровно \(n!\)

Определение. Определителем порядка \(n\), соответствующим квадратной матрице
\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \tag{2} \) порядка \(n\) (определителем квадратной матрицы порядка \(n\) ), называют сумму \(n!\) слагаемых
$$ \large |A| = \sum_{\sigma} (-1)^{|\sigma|} a_{1\alpha_1} a_{2\alpha_2} ... a_{n\alpha_n} \tag{3} $$ которая берется по всевозможным подстановкам вида
\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{pmatrix} \)

Определитель матрицы \(A\) часто называют просто определителем, или детерминантом, и обозначают
\( \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \)
или \( \det A\), называя \(A\) матрицей этого определителя.

Свойства определителей

Поскольку определители соответствуют квадратным матрицам, в их теорию легко переносится матричная терминология (порядок, элементы, строки, столбцы, диагональ, диагональные элементы, виды матриц и определителей, транспонирование, элементарные преобразования строк и столбцов, линейные комбинации строк и столбцов и др.).
При изучении определителей используют эту возможность, подразумевая однако, что терминология относится к матрице определителя.

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. \( |A| = \left| A^T \right| \)

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

Свойство 3. Если все элементы \(j\)-го столбца определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы, кроме \(j\)-го, такие же, как и в данном определителе, а \(j\)-й столбец первого определителя состоит из первых слагаемых \(j\)-го столбца данного определителя, а второго — из вторых слагаемых :
\( \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \alpha_{1j} + \beta_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \alpha_{2j} + \beta_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} + \beta_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \) \( \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \alpha_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \) \( \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \beta_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \beta_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & \beta_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \) Аналогично для строки.

Свойство 4. Общий множитель элементов строки или столбца может быть вынесен за знак определителя.
Для умножения определителя на число достаточно умножить на это число элементы любой строки или любого столбца.

Свойство 5. Определитель равен нулю, если он имеет :
1) нулевую строку (столбец)
2) хотя бы две одинаковые строки (столбца)
3) хотя бы две строки (столбца), элементы которых пропорциональны
4) хотя бы одну строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов).

Свойство 6. Определитель не изменится, если к любой его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбцец), умноженную на число.

В матрице \(A\) вычеркнем \(i\)-ю строку и \(j\)-й столбец, в которых стоит элемент \(a_{ij}\). Из оставшихся элементов можно составить новую квадратную матрицу (n-1)-го порядка, сдвинув строки и столбцы после вычеркивания.
Определитель построенной матрицы обозначают через \( M_{ij} \) и называют минором (матрицы \(A\) и её определителя \(\Delta\) ), соответствующим элементу \(a_{ij}\).
Число \( A_{ij}= (-1)^{i+j} M_{ij} \) называют алгебраическим дополнением, соответствующим этому же элементу \(a_{ij}\).

Миноры и алгебраические дополнения позволяют, в частности, вычислять определитель n-го порядка путем сведения его к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.

Свойство 7. Определитель \( \Delta \) квадратной матрицы \( A = ( a_{ij} ) \) порядка n можно представить в виде
$$ \large \Delta = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij} = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \tag{4} $$ ( разложение по \(i\)-й строке )
или $$ \large \Delta = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij} = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \tag{5} $$ ( разложение по \(j\)-му столбцу )

Разложения по строке (4) и столбцу (5) дают правила, в соответствии с которыми определитель n-го порядка сводится к n определителям (n-1)-го порядка, раскладывая которые получим n(n-1) определителей (n-2)-го порядка и т.д.
Эти вычисления получаются громоздкими, однако процесс упрощается, если среди элементов определителя имеется много нулей. Целесообразно раскладывать определитель по тому ряду (строке, столбцу), в котором больше нулей.
Если же в этом смысле некоторые ряды одинаковы, то удобнее выбирать тот из них, в котором элементы имеют большие значения по абсолютной величине, поскольку это упрощает выполнение арифметических вычислений.

Свойство 8. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали, т.е.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = $$ $$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = $$ $$ a_{11}a_{22}...a_{nn} = \large \prod_{i=1}^n a_{ii} $$

С помощью элементарных преобразований строк любая матрица приводится к ступенчатому виду. Квадратная матрица ступенчатого вида является частным случаем верхней треугольной матрицы, у которой диагональные элементы, начиная с некоторого, могут быть равны нулю. Определитель такой матрицы легко найти по свойству 8. В алгоритме приведения к ступенчатому виду используется перестановка строк, при которой определитель матрицы меняет знак. Изменение знака можно учесть, например, дополнительным умножением определителя или одной из строк на —1. Следовательно, квадратную матрицу всегда можно привести элементарными преобразованиями строк к верхнему треугольному виду с сохранением значения её определителя.

Свойство 9. Определитель произведения двух квадратных матриц A, B равен произведению их определителей, т.е. \( |АВ| = |A||B| \).

Свойство 10. Определитель обратной матрицы: \( \left| А^{-1} \right| = \frac{1}{|A|} \)

Свойство 11. Если матрица \(A\) порядка \(n\), то \( |kA|=k^n|A| \)

Вычисление определителя для частных случаев матриц

Определитель единичной матрицы равен 1 : \( |E| = 1 \)

Определитель матрицы 1-го порядка равен единственному элементу этой матрицы : \( |a_{11}| = a_{11} \)

Вычисление определителя для матрицы 2-го порядка.
\( \Delta = \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = ad-bc \)

Вычисление определителя для матрицы 3-го порядка.
Можно воспользоваться формулой (4) разложения по первой строке:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = $$ $$ (-1)^{1+1} a_{11} M_{11} + (-1)^{1+2} a_{12} M_{12} + (-1)^{1+3} a_{13} M_{13} = $$ $$ a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = $$ $$ a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} $$

Чтобы запомнить, какие произведения элементов берутся со знаком \( "+" \), а какие со знаком \( "-" \) можно использовать следующее правило треугольников.
Произведения элементов, стоящих на зелёных точках складываются, а на синих - вычитаются :
Умножение матриц. Правило треугольников Умножение матриц. Правило треугольников

Также для вычисления определителя 3-го порядка существует правило Саррюса.
Первый и второй столбцы матрицы записываются справа от основной матрицы.
Произведения элементов, стоящих на зелёных линиях складываются, а на синих - вычитаются :
Умножение матриц. Правило Саррюса

Обратная матрица и её свойства

Определение. Пусть \(A\) — квадратная матрица порядка \(n\). Квадратную матрицу \(B\) того же порядка называют обратной к \(A\), если \( AB= BA =E \), где \(E\) — единичная матрица порядка \(n\).

Обратную матрицу обозначают \(A^{-1}\). Она позволяет определить целую отрицательную степень матрицы \(A\).
А именно, для \(n>0\) полагают \(A^{-n} = \left( A^{-1} \right)^n \).

Свойство. Если квадратная матрица \(A\) имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная.

Квадратная матрица не всегда имеет обратную. Установить, имеет ли данная матрица обратную, позволяет следующая теорема.

Свойство. Для того чтобы квадратная матрица \(A\) порядка \(n\) имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы \(|A| \neq 0 \).

Следствие. Если квадратная матрица \(A\) имеет обратную, то \( \left| А^{-1} \right| = \frac{1}{|A|} \)

Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной или неособой. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, её называют вырожденной. Итак, для существования обратной матрицы \(A^{-1}\) необходимо и достаточно, чтобы сама матрица \(A\) была невырожденной.

Свойство. Если квадратные матрицы \(A\) и \(B\) порядка \(n\) имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем \( \left( AB \right)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \)

Свойство. Если матрица \(A\) порядка \(n\) имеет обратную, то и транспонированная матрица \(A^T\) имеет обратную, причем \( \left( A^T \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^T \)

Вычисление обратной матрицы

С помощью матрицы алгебраических дополнений

Пусть дана квадратная матрица \(A\) порядка \(n\).
Матрицу \(M^T\), транспонированную к матрице \(A\) алгебраических дополнений, называют присоединенной.
Если \(A\) — невырожденная матрица, то обратная к ней вычисляется по формуле :
$$ A^{-1}= \frac{1}{|A|} \cdot M^T $$

Таким образом, чтобы для квадратной матрицы порядка n найти обратную матрицу, надо вычислить один определитель порядка n и составить транспонированную матрицу алгебраических дополнений к матрице \(A\), т.е. вычислить \(n^2\) определителей порядка n-1.
Метод присоединенной матрицы эффективен при \(n=2\) или \(n=3\), но при росте n становится слишком трудоемким.

Отметим, что для квадратной матрицы \(A\) 2-го порядка присоединенная матрица \(M^T\) получается перестановкой в \(A\) диагональных элементов и изменением знака двух других.

С помощью метода Жордана-Гаусса

Этот метод состоит в преобразовании исходной матрицы к более простому виду с помощью элементарных преобразований строк.
Чтобы найти матрицу \(A^{-1}\), обратную к \(A\), фактически надо решить матричное уравнение \(AX=E\).
Отметим, что если над матрицей \(A\) выполняется какое-либо элементарное преобразование строк, то это же преобразование осуществляется и над матрицей \(AX\), поскольку любое элементарное преобразование строк матрицы эквивалентно умножению её слева на соответствующую матрицу специального вида. Таким образом, если в уравнении \(AX=E\) над матрицами \(A\) и \(E\) одновременно выполнить какое-либо элементарное преобразование строк, т.е. домножить это равенство слева на некоторую матрицу специального вида, то в результате получится новое матричное уравнение \(A_1X=B_1\). Оба эти матричные уравнения имеют одно и то же решение, так как любое элементарное преобразование строк имеет обратное элементарное преобразование строк.
Последовательность элементарных преобразований строк надо подобрать так, чтобы на s-м шаге матрица \(A\) превратилась в единичную матрицу.
В результате этих s шагов получается уравнение \(A_sX=B_s\), где \(A_s=E\), т.е. \(X=B_s\). Итак, поскольку \(A^{-1}\) является решением уравнения \(AX=E\), которое эквивалентно \(X=B_s\), то \(A^{-1}=B_s\).

Чтобы синхронно выполнять преобразования над матрицами в левой и правой частях матричного уравнения \(AX=E\), записывают блочную матрицу \( (A|E)\) и выполняют такие элементарные преобразования строк этой матрицы, чтобы вместо \(A\) получить единичную матрицу \(E\), тогда на месте \(E\) получится нужная матрица \(A^{-1}\).

Ранг матрицы

Определение.
Рангом матрицы называют число, которое равно максимальному порядку среди её ненулевых миноров.

Для ранга матрицы \(A\) используют обозначение \(\text{rang}A\).

Если квадратная матрица порядка n невырождена, то её ранг равен её порядку n : ненулевым является единственный минор максимального порядка n, совпадающий с определителем матрицы.
В частности, ранг единичной матрицы \(E\) порядка n равен n.

Если квадратная матрица вырождена, то её ранг меньше её порядка : единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок.
Ранг нулевой матрицы полагают равным нулю.

Ранг диагональной матрицы равен количеству её ненулевых диагональных элементов.

Непосредственно из определения ранга матрицы следует, что ранг имеет следующее свойство, полностью его характеризующее.

Свойство. Если ранг матрицы равен \(r\), то матрица имеет хотя бы один минор порядка \(r\), не равный нулю, а все её миноры больших порядков равны нулю.

Теорема. При транспонировании матрицы её ранг не меняется, т.е. \( \text{rang} A^T = \text{rang} A \)

Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях её строк и столбцов.

Теорема о базисном миноре

Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля.

Определение.
Минор \(M\) матрицы \(M\) называют базисным, если выполнены два условия:
1) он не равен нулю
2) его порядок равен рангу матрицы А

Матрица \(A\) может иметь несколько базисных миноров. Строки и столбцы матрицы \(A\), в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными.

Теорема о базисном миноре. Базисные строки (столбцы) матрицы \(A\), соответствующие любому её базисному минору \(M\), линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы \(A\), не входящие в \(M\), являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Следствие. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её строки (столбцы) были линейно независимы.

Теорема. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

Теорема. Для любой матрицы её ранг равен максимальному количеству её линейно независимых строк (столбцов).

Следствие. Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов.

Вычисление ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Минор \(M'\) матрицы \(A\) называют окаймляющим для минора \(M\), если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы \(A\).
Ясно, что порядок окаймляющего минора \(M'\) на единицу больше, чем порядок минора \(M\).

Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из базисных миноров матрицы и состоит в следующем.
Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным (что утверждает следующая ниже теорема). Этот процесс рано или поздно закончится из-за ограниченных размеров матрицы.

Теорема. Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным.

Метод элементарных преобразований

При элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы её ранг не меняется. С помощью этих преобразований можно так упростить матрицу, чтобы ранг новой матрицы легко вычислялся.

Например с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк. Действительно, этот минор ненулевой, так как соответствующая матрица является верхней треугольной, а любое его окаймление содержит нулевую строку. Поэтому приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк позволяет вычислить ранг матрицы.

Приведенные два метода существенно отличаются друг от друга.
При нахождении ранга конкретной матрицы методом окаймляющих миноров может потребоваться большое количество вычислений. Это связано с тем, что метод требует вычисления определителей, порядок которых может возрасти до минимального из размеров матрицы. Однако в результате будет найден не только ранг матрицы, но и один из её базисных миноров.

При нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований требуется гораздо меньше вычислений. Причем разница в объемах вычислений возрастает с ростом размеров матрицы и усложнением её вида. Но этот метод позволяет найти базисный минор лишь для матрицы ступенчатого вида, полученной в результате элементарных преобразований. Чтобы найти базисный минор исходной матрицы, нужны дополнительные вычисления с учетом уже известного ранга матрицы.