Решение квадратного уравнения.

Пример №1

Найти корни квадратного уравнения:

$$\frac{1}{4}\left(t-1\right)\left(t+2\right)-t+1=0$$

Решение.

Упрощение $\frac{1}{4}\left(t-1\right)\left(t+2\right)-t+1 $

$$\frac{1}{4}\left(t-1\right)\left(t+2\right)-t+1= $$

Раскрытие скобок:

$$\left(\frac{1}{4}t-\frac{1}{4}\right)\left(t+2\right)-t+1= $$

Раскрытие скобок:

$$\frac{1}{4}t^{2}+0,5t-\frac{1}{4}t-0,5-t+1=$$

$$\frac{1}{4}t^{2}-\frac{3}{4}t+0,5$$

Ответ: $ \frac{1}{4}t^{2}-\frac{3}{4}t+0,5 $

$$\frac{1}{4}t^{2}-\frac{3}{4}t+0,5=0$$

Умножим обе части уравнения на число 4. Корни уравнения при этом не изменятся.

$$t^2-3t+2=0$$

Вычислим дискриминант.

$$D = b^2-4ac = 1$$

$$t_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2} = \frac{3\pm1}{2} $$

Ответ: $ t_1 = 2,\quad t_2 = 1 $

Решение по теореме Виета

Т.к. $ \left| a \right|=1 $, то можно воспользоваться теоремой Виета:

$$t^2+pt+q=0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=-p \\ t_1 \cdot t_2=q \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=3 \\ t_1 \cdot t_2=2 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} t_1=2 \\ t_2=1 \end{array}\right.$$

Ответ: $ t_1= 2,\; t_2= 1 $

Найти корни квадратного уравнения:

$$0,5\left(y-1\right)\left(y+1\right)-\left(5y-10,5\right)=0$$

Решение.

Упрощение $0,5\left(y-1\right)\left(y+1\right)-\left(5y-10,5\right) $

$$0,5\left(y-1\right)\left(y+1\right)-\left(5y-10,5\right)= $$

Раскрытие скобок:

$$\left(0,5y-0,5\right)\left(y+1\right)-5y+10,5= $$

Раскрытие скобок:

$$0,5y^{2}+0,5y-0,5y-0,5-5y+10,5=$$

$$0,5y^{2}+10-5y=$$

$$0,5y^{2}-5y+10$$

Ответ: $ 0,5y^{2}-5y+10 $

$$0,5y^{2}-5y+10=0$$

Умножим обе части уравнения на число 2. Корни уравнения при этом не изменятся.

$$y^2-10y+20=0$$

Вычислим дискриминант.

$$D = b^2-4ac = 20$$

$$y_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{10\pm\sqrt{20}}{2} = \frac{10\pm2\sqrt{5}}{2} $$

Ответ: $$ y_1 = 5+\sqrt{5},\quad y_2 = 5-\sqrt{5} $$