Системы линейных алгебраических уравнений
Система \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
\( \left\{ \begin{array}{l}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\cdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{array} \right. \tag{1} \)
Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от \(n\) переменных
\( x_1 , \ldots x_n \), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.
Числа \(a_{ij} \in \mathbb{R} \) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения \(i\) и номером
неизвестного \(j\). Действительные числа \( b_1 , \ldots b_m \) называют свободными членами уравнений.
СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.
Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных \( x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ \),
при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.
Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.
СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ
всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.
Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной.
При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.
Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.
Рассматривая коэффициенты \(a_{ij}\) СЛАУ при одном неизвестном \(x_j\) как элементы столбца, а \(x_j\) как коэффициент, на который умножается
столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
\( \begin{pmatrix}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m1}
\end{pmatrix} x_1 + \begin{pmatrix}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m2}
\end{pmatrix} x_2 + \ldots + \begin{pmatrix}
a_{1n} \\
a_{2n} \\
\vdots \\
a_{mn}
\end{pmatrix} x_n = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix} \)
или, обозначая столбцы соответственно \( a_1 , \ldots , a_n , b \),
\( x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag{2} \)
Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \).
Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.
Обратим внимание на то, что слева в каждом уравнении системы (1) стоит сумма попарных произведений — так же, как и в произведении двух матриц.
Если взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (1) можно записать так :
\( \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix} \)
или \(Ax=b\), где \(A\) — матрица размера \(m \times n\); \(x\) — столбец неизвестных; \(b\) — столбец свободных членов:
\( A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} ,\; \)
\( X = \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} ,\; \)
\( B = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix} \)
Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ
является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).
Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.
Критерий совместности СЛАУ
"Триединство" форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет
для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).
Матрицу
\( A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} \)
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
\( (A|B) = \left( \begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array} \right) \)
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно
(если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу
её расширенной матрицы \( (A|B) \).
Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по
формулам Крамера :
$$ x_i = \frac{\Delta_i}{|A|} \;,\quad i=\overline{1,n} \tag{3} $$
где \(\Delta_i\) — определитель матрицы, получающейся из матрицы \(A\) заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов.
Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.
Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы
нахождения решений.
Следующая теорема описывает важнейшее свойство множества решений однородной системы \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными.
Теорема. Если столбцы \( X^{(1)}, X^{(2)}, \ldots , X^{(s)} \) — решения однородной СЛАУ \(AX=0\), то любая их линейная комбинация
также является решением этой системы.
Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.
Естественно попытаться найти такие решения \( X^{(1)}, \ldots , X^{(s)} \) системы \(AX=0\), чтобы любое другое решение этой системы
представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.
Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где
\(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.
При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице
\(A\) однородной СЛАУ \(AX=0\) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих
этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или
независимыми.
Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \text{rang}A = r \). Тогда существует набор из \(k=n-r\)
решений \( X^{(1)}, \ldots , X^{(k)} \) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.
Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений
называют фундаментальной нормальной системой решений.
Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^{(1)} + \ldots + c_kX^{(k)} $$
где постоянные \( c_i \;, \quad i=\overline{1,k} \), принимают произвольные значения.
Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.
Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую
неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.
Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и
только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).
Следствие. Пусть \(X'\) и \(X''\) — решения неоднородной системы \(AX=B\). Тогда их разность \( Y = X' - X'' \) является
решением соответствующей однородной системы \(AY=0\).
Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно
её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.
Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых,
найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.
Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть \(X^\circ\) — частное решение СЛАУ \(AX=B\) и известна фундаментальная система
решений \( X^{(1)}, \ldots , X^{(k)} \) соответствующей однородной системы \(AX=0\). Тогда любое решение СЛАУ \(AX=B\) можно представить в виде
$$ X = X^\circ + c_1 X^{(1)} + c_2 X^{(2)} + \ldots + c_k X^{(k)} $$
где \( c_i \in \mathbb{R} \;, \quad i=\overline{1,k} \).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.