Решение систем неравенств: линейные, квадратные и дробные. Описание.
<< Назад (к решению системы неравенств)Какие неравенства могут быть в системе?
Эта математическая программа решает системы неравенств со следующими типами неравенств.
Линейные
Неравенства сводящиеся к виду: \( ax+b > 0 \) (знак сравнения любой).
Например:
Квадратные
Неравенства сводящиеся к виду: \( ax^2+bx+c > 0 \) (знак сравнения любой).
Например:
Дробные
Неравенства сводящиеся к виду:
\( \frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2} > 0 \) (знак сравнения любой).
Коэффициенты \( a_1 \) и \( a_2 \) могут быть нулевыми, т.е. и в числителе и в знаменателе дроби может быть и линейный и квадратный многочлен.
Например:
<< Назад (к решению системы неравенств)
Пример подробного решения
Решить систему неравенств: $$\left\{\begin{array}{l} 3t^{2}-4t+5 \geqslant \left(t-2\right)^{2}+5\left(t+1\right) \\ \frac{t-0,5}{t+2} \leqslant 2t+0,6 \end{array}\right.$$ Решение: Нужно решить каждое неравенство системы в отдельности, а затем найти пересечение их решений. Решим первое неравенство системы.
Решение первого неравенства системы
Упрощение многочлена в правой части
$$5\left(t+1\right)+\left(t-2\right)^{2}= $$
Возведение в степень:
$$5\left(t+1\right)+t^{2}-4t+4= $$
Раскрытие скобок:
$$5t+5+t^{2}-4t+4=$$
$$t+9+t^{2}=$$
$$t^{2}+t+9$$
Ответ: \( t^{2}+t+9 \)
Решение квадратного уравнения \(2t^{2}-5t-4= 0 \)
Вычислим дискриминант.
$$D = b^2-4ac = 57$$
$$t_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{5\pm\sqrt{57}}{4} = \frac{5\pm\sqrt{57}}{4} $$
Ответ: $$ t_1 = \frac{5+\sqrt{57}}{4},\quad t_2 = \frac{5-\sqrt{57}}{4} $$
$$ \frac{5-\sqrt{57}}{4} $$ | $$ \frac{5+\sqrt{57}}{4} $$ |
Решение второго неравенства системы
$$\frac{t-0,5}{t+2} \leqslant 2t+0,6\Rightarrow $$
$$\frac{t-0,5-\left(2t+0,6\right)\left(t+2\right)}{t+2} \leqslant 0$$
$$\frac{-2t^{2}-3,6t-1,7}{t+2} \leqslant 0 $$
Решим квадратное уравнение \( -2t^{2}-3,6t-1,7= 0 \)
Корней нет, следовательно \( -2t^{2}-3,6t-1,7 < 0 \) для любых \( t \)
Решим линейное уравнение \( t+2= 0 \)
Корень линейного уравнения: \( t = -2\)
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:
Ответ:
$$ t \in \left( -2 ;\; +\infty \right) $$
или
$$ t > -2 $$
Упрощение выражения \(t-0,5-\left(2t+0,6\right)\left(t+2\right)\)
$$t-0,5-\left(2t+0,6\right)\left(t+2\right)= $$
Раскрытие скобок:
$$t-0,5+\left(-2t-0,6\right)\left(t+2\right)= $$
Раскрытие скобок:
$$t-0,5-2t^{2}-4t-0,6t-1,2=$$
$$-3,6t-1,7-2t^{2}=$$
$$-2t^{2}-3,6t-1,7$$
Ответ: \( -2t^{2}-3,6t-1,7 \)
Решение квадратного уравнения \( -2t^{2}-3,6t-1,7= 0 \)
Умножим обе части уравнения на число 10. Корни уравнения при этом не изменятся.
$$-20t^2-36t-17=0$$
Вычислим дискриминант.
$$D = b^2-4ac = -64$$
Ответ: корней нет, т.к. \( D<0 \)
$$ -2 $$ |
$$ -2 $$ | $$ \frac{5-\sqrt{57}}{4} $$ | $$ \frac{5+\sqrt{57}}{4} $$ |