Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем
данным элементам, определяющим треугольник.
Эта математическая программа находит стороны \( b, c \), и угол \( \alpha \) по заданным пользователем
стороне \( a \) и двум прилежащим к ней углам \( \beta \) и \( \gamma \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно задать не только целые, но и дробные.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5
Введите сторону \( a \) и два прилежащих к ней угла \( \beta \) и \( \gamma \)
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock. В этом случае отключите его и обновите страницу.
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже. Пожалуйста подождите сек...
Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
Теорема косинусов
Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное
на косинус угла между ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Решение треугольников
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным
элементам, определяющим треугольник.
Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC:
AB = c, BC = a, CA = b.
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Дано: \( a, b, \angle C \). Найти \( c, \angle A, \angle B \)
Решение
1. По теореме косинусов находим \(c\):
$$ c = \sqrt{ a^2+b^2-2ab \cos C } $$
2. Пользуясь теоремой косинусов, имеем:
$$ \cos A = \frac{ b^2+c^2-a^2 }{2bc} $$
По \( \cos A \) находим \( \angle A \) с помощью микрокалькулятора или по таблице.
3. \( \angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Дано: \( a, \angle B, \angle C \). Найти \( \angle A, b, c \)
Решение
1. \( \angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)
2. С помощью теоремы синусов вычисляем b и c:
$$ b = a \frac{\sin B}{\sin A}, \quad c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$
Решение треугольника по трём сторонам
Дано: \( a, b, c \). Найти \( \angle A, \angle B, \angle C \)
Решение
1. По теореме косинусов получаем:
$$ \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
По \( \cos A \) находим \( \angle A \) с помощью микрокалькулятора или по таблице.
2. Аналогично находим угол B.
3. \( \angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)
Решение треугольника по двум сторонам и углу напротив известной стороны
Дано: \( a, b, \angle A \). Найти \( c, \angle B, \angle C \)
Решение
1. По теореме синусов находим \( \sin B \) получаем:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b}{a} \cdot \sin A $$
Введём обозначение: \( D = \frac{b}{a} \cdot \sin A \). В зависимости от числа D возможны случаи:
Если D > 1, такого треугольника не существует, т.к. \( \sin B \) больше 1 быть не может
Если D = 1, существует единственный \( \angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Если D < 1 и a < b, то \( \angle B \) имеет два возможных значения: острый \( \angle B = \arcsin D \) и тупой
\( \angle B' = 180^\circ - \angle B \)
Если D < 1 и \( a \geqslant b\), то \( \angle A \geqslant \angle B \) (против большей стороны лежит больший угол). Т.к. в треугольнике не
может быть двух тупых углов, тупой угол для \( \angle B \) исключён, и угол \( \angle B = \arcsin D \) единственный.
2. \( \angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)
3. С помощью теоремы синусов вычисляем сторону c:
$$ c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$