Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о простейших тригонометрических уравнениях и общие методы преобразования тригонометрических уравнениях к простейшим.

Примеры подробного решения >>

Введите тригонометрическое уравнение



Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leq \cos \alpha \leq 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leq 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leq x \leq \pi \) только один корень. Если \( a \geq 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac{\pi}{2} \right] \); если a < 0, то в промежутке \( \left( \frac{\pi}{2}; \; \pi \right] \).
Этот корень называют арккосинусом числа a и обозначают arccos a.

Определение Арккосинусом числа \( |a| \leq 1 \) называется такое число \( 0 \leq \alpha \leq \pi \), косинус которого равен а:
\( \text{arccos}(a) = \alpha \) если \( \cos(\alpha) =a \) и \( 0 \leq \alpha \leq \pi \)

Все корни уравнений вида cos(х) = а, где \( |a| \leq 1 \), можно находить по формуле
\( x = \pm \text{arccos}(a) +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Можно доказать, что для любого \( |a| \leq 1 \) справедлива формула
\( \text{arccos}(-a) = \pi - \text{arccos}(a) \)
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leq \sin \alpha \leq 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leq 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \right] \) имеет только один корень. Если \( a \geq 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac{\pi}{2} \right] \); если а < 0, то корень заключён в промежутке \( \left[ -\frac{\pi}{2}; \; 0 \right) \)
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а

Определение Арксинусом числа \( |a| \leq 1 \) называется такое число \( -\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \), синус которого равен а:
\( \text{arcsin}(a) = \alpha \), если \( \sin(\alpha) =a \) и \( -\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \)

Все корни уравнений вида sin(х) = а, где \( |a| \leq 1 \), можно находить по формуле
\( x = (-1)^n \text{arcsin}(a) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Можно доказать, что для любого \( |a| \leq 1 \) справедлива формула
\( \text{arcsin}(-a) = - \text{arcsin}(a) \)
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \right) \) только один корень. Если \( |a| \geq 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac{\pi}{2} \right) \); если а < 0, то в промежутке \( \left( -\frac{\pi}{2}; \; 0 \right) \).
Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a

Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число \( -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} \), тангенс которого равен а:
\( \text{arctg}(a) = \alpha \), если \( \text{tg}(\alpha) =a \) и \( -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} \)

Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле
\( x = \text{arctg}(a) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Можно доказать, что для любого a справедлива формула
\( \text{arctg}(-a) = - \text{arctg}(a) \)
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos2(х) - 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos2(х) на 1 - sin2(х), получаем
2 (1 - sin2(х)) - 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin2(х) + 5 sin(х) - 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у2 + 5y - 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = - 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text{arcsin}(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Решить уравнение 2 cos2(6х) + 8 sin(3х) cos(3x) - 4 = 0

Используя формулы
sin2(6x) + cos2(6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 - sin2(6х)) + 4 sin(6х) - 4 = 0    =>    3 sin2(6х) - 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y2 - 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3

1) \( sin(6x) = 1 \Rightarrow 6x = \frac{\pi}{2} +2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} +\frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( sin(6x) = \frac{1}{3} \Rightarrow 6x = (-1)^n \text{arcsin} \frac{1}{3} +\pi n \Rightarrow \)
\( \Rightarrow x = \frac{(-1)^n}{6} \text{arcsin} \frac{1}{3} +\frac{\pi n}{6}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \frac{\pi}{12} +\frac{\pi n}{3}, \;\; x = \frac{(-1)^n}{6} \text{arcsin} \frac{1}{3} +\frac{\pi n}{6}, \; n \in \mathbb{Z} \)

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) - 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}, \; \cos(x) = \cos^2 \frac{x}{2} -\sin^2 \frac{x}{2} \) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} \right) \) получаем

\( 4\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = 2\sin^2 \frac{x}{2} + 2\cos^2 \frac{x}{2} \)
\( 3\sin^2\frac{x}{2} -4\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \)

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac{x}{2} \) получим равносильное уравнение \( 3 \text{tg}^2\frac{x}{2} - 4 \text{tg}\frac{x}{2} +1 = 0 \)
Обозначая \( \text{tg}\frac{x}{2} = y \) получаем уравнение 3y2- 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3

1) \( \text{tg}\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} +\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( \text{tg}\frac{x}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x}{2} = \text{arctg}\frac{1}{3} +\pi n \Rightarrow x = 2 \text{arctg} \frac{1}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \frac{\pi}{2} +2\pi n, \;\; x = 2 \text{arctg} \frac{1}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leq b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt{a^2+b^2} \):

\( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin(x) + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos(x) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
Введём вспомогательный аргумент \( \varphi \), такой, что
\( \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \;\; \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
Такое число \( \varphi \) существует, так как
\( \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 + \left( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 = 1 \)
Таким образом, уравнение можно записать в виде
\( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
откуда
\( \sin(x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
где \( \varphi = \text{arccos} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \) или \( \varphi = \text{arcsin} \left( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \)
Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вспомогательного угла.

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt{a^2+b^2} = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

\( \frac{4}{5}\sin(x) + \frac{3}{5}\cos(x) = 1 \)
Введём вспомогательный аргумент \( \varphi \), такой, что \( \cos \varphi = \frac{4}{5}, \; \sin \varphi = \frac{3}{5} \) Исходное уравнение можно записать в виде
\( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = 1, \;\; \sin(x+\varphi) = 1 \)
откуда
\( x+\varphi = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \;\; \varphi = \text{arccos} \frac{4}{5} \)
\( x = \frac{\pi}{2} - \text{arccos} \frac{4}{5} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \frac{\pi}{2} - \text{arccos} \frac{4}{5} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) - sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) - sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x - 1) = 0

1) \( \sin(x) =0, \; x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( 2 \cos(x) -1 =0, \; \cos(x) = \frac12, \; x = \pm \frac{\pi}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \pi n, \; x = \pm \frac{\pi}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х - х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

1) \( \sin(x) =0, \; x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( \sin(3x) =0, \; x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Заметим, что числа \( \pi n \) содержатся среди чисел вида \( x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.
Ответ \( x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)

Решить уравнение 6 sin2(x) + 2 sin2(2x) = 5
Выразим sin2(x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos2(x) - sin2(x), то
cos(2x) = 1 - sin2(x) - sin2(x), cos(2x) = 1 - 2 sin2(x), откуда
sin2(x) = 1/2 (1 - cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 - cos(2x)) + 2 (1 - cos2(2х)) = 5
2 cos2(2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

1) cos(2х) =0, \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) уравнение cos(2x) = -3/2 корней не имеет.
Ответ \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z} \)