Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Тригонометрические уравнения
Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней.
Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень.
Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac{\pi}{2} \right] \); если a < 0, то в промежутке
\( \left( \frac{\pi}{2}; \; \pi \right] \).
Этот корень называют арккосинусом числа a и обозначают arccos a.
Определение Арккосинусом числа \( |a| \leqslant 1 \) называется такое число \( 0 \leqslant \alpha \leqslant \pi \), косинус которого
равен а:
\( \text{arccos}(a) = \alpha \) если \( \cos(\alpha) =a \) и \( 0 \leqslant \alpha \leqslant \pi \)
Все корни уравнений вида cos(х) = а, где \( |a| \leqslant 1 \), можно находить по формуле
\( x = \pm \text{arccos}(a) +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Можно доказать, что для любого \( |a| \leqslant 1 \) справедлива формула
\( \text{arccos}(-a) = \pi - \text{arccos}(a) \)
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.
Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней.
Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \right] \) имеет только один
корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac{\pi}{2} \right] \); если а < 0, то корень заключён
в промежутке \( \left[ -\frac{\pi}{2}; \; 0 \right) \)
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а
Определение Арксинусом числа \( |a| \leqslant 1 \) называется такое число \( -\frac{\pi}{2} \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2} \),
синус которого равен а:
\( \text{arcsin}(a) = \alpha \), если \( \sin(\alpha) =a \) и \( -\frac{\pi}{2} \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2} \)
Все корни уравнений вида sin(х) = а, где \( |a| \leqslant 1 \), можно находить по формуле
\( x = (-1)^n \text{arcsin}(a) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Можно доказать, что для любого \( |a| \leqslant 1 \) справедлива формула
\( \text{arcsin}(-a) = - \text{arcsin}(a) \)
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет
корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{2} \right) \) только один корень.
Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac{\pi}{2} \right) \); если а < 0, то в
промежутке \( \left( -\frac{\pi}{2}; \; 0 \right) \).
Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a
Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число \( -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} \),
тангенс которого равен а:
\( \text{arctg}(a) = \alpha \), если \( \text{tg}(\alpha) =a \) и \( -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} \)
Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле
\( x = \text{arctg}(a) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Можно доказать, что для любого a справедлива формула
\( \text{arctg}(-a) = - \text{arctg}(a) \)
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а.
К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение
различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos2(х) - 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos2(х) на 1 - sin2(х), получаем
2 (1 - sin2(х)) - 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin2(х) + 5 sin(х) - 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у2 + 5y - 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = - 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text{arcsin}(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Решить уравнение 2 cos2(6х) + 8 sin(3х) cos(3x) - 4 = 0
Используя формулы
sin2(6x) + cos2(6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 - sin2(6х)) + 4 sin(6х) - 4 = 0 => 3 sin2(6х) - 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y2 - 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
1) \( sin(6x) = 1 \Rightarrow 6x = \frac{\pi}{2} +2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} +\frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( sin(6x) = \frac{1}{3} \Rightarrow 6x = (-1)^n \text{arcsin} \frac{1}{3} +\pi n \Rightarrow \)
\( \Rightarrow x = \frac{(-1)^n}{6} \text{arcsin} \frac{1}{3} +\frac{\pi n}{6}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \frac{\pi}{12} +\frac{\pi n}{3}, \;\; x = \frac{(-1)^n}{6} \text{arcsin} \frac{1}{3} +\frac{\pi n}{6}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c
Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) - 2 = 0
Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}, \; \cos(x) = \cos^2 \frac{x}{2} -\sin^2 \frac{x}{2} \)
и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} \right) \) получаем
\( 4\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = 2\sin^2 \frac{x}{2} + 2\cos^2 \frac{x}{2} \)
\( 3\sin^2\frac{x}{2} -4\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \)
Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac{x}{2} \) получим равносильное уравнение
\( 3 \text{tg}^2\frac{x}{2} - 4 \text{tg}\frac{x}{2} +1 = 0 \)
Обозначая \( \text{tg}\frac{x}{2} = y \) получаем уравнение
3y2- 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3
1) \( \text{tg}\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} +\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( \text{tg}\frac{x}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x}{2} = \text{arctg}\frac{1}{3} +\pi n \Rightarrow x = 2 \text{arctg} \frac{1}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \frac{\pi}{2} +2\pi n, \;\; x = 2 \text{arctg} \frac{1}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \)
можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt{a^2+b^2} \):
\( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin(x) + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos(x) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
Введём вспомогательный аргумент \( \varphi \), такой, что
\( \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \;\; \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
Такое число \( \varphi \) существует, так как
\( \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 + \left( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 = 1 \)
Таким образом, уравнение можно записать в виде
\( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
откуда
\( \sin(x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
где \( \varphi = \text{arccos} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \) или \( \varphi = \text{arcsin} \left( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \)
Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется
методом введения вспомогательного угла.
Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt{a^2+b^2} = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:
\( \frac{4}{5}\sin(x) + \frac{3}{5}\cos(x) = 1 \)
Введём вспомогательный аргумент \( \varphi \), такой, что \( \cos \varphi = \frac{4}{5}, \; \sin \varphi = \frac{3}{5} \)
Исходное уравнение можно записать в виде
\( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = 1, \;\; \sin(x+\varphi) = 1 \)
откуда
\( x+\varphi = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \;\; \varphi = \text{arccos} \frac{4}{5} \)
\( x = \frac{\pi}{2} - \text{arccos} \frac{4}{5} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \frac{\pi}{2} - \text{arccos} \frac{4}{5} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin(2х) - sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) - sin(x) = 0. Вынося общий множитель
sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x - 1) = 0
1) \( \sin(x) =0, \; x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( 2 \cos(x) -1 =0, \; \cos(x) = \frac12, \; x = \pm \frac{\pi}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \pi n, \; x = \pm \frac{\pi}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х - х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
1) \( \sin(x) =0, \; x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( \sin(3x) =0, \; x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Заметим, что числа \( \pi n \) содержатся среди чисел вида \( x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.
Ответ \( x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Решить уравнение 6 sin2(x) + 2 sin2(2x) = 5
Выразим sin2(x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos2(x) - sin2(x), то
cos(2x) = 1 - sin2(x) - sin2(x), cos(2x) = 1 - 2 sin2(x), откуда
sin2(x) = 1/2 (1 - cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 - cos(2x)) + 2 (1 - cos2(2х)) = 5
2 cos2(2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0
1) cos(2х) =0, \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) уравнение cos(2x) = -3/2 корней не имеет.
Ответ \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z} \)