Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое неравенство. Программа для решения тригонометрического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию решения тригонометрических неравенств и некоторые методы решения тригонометрических неравенств.

Примеры подробного решения >>

Введите тригонометрическое неравенство



Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Тригонометрические неравенства

Неравенства вида \( \sin x > a \) и \( \sin x < a \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x > a \).
1) При \(-1 < a < 1 \) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\arcsin a + 2\pi k; \;\; \pi - \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(а \geq 1 \) неравенство не имеет решений: \( x \in \emptyset \)
3) При \(а < -1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
4) При \(а = -1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x < a \).
1) При \(-1 < а < 1 \) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\pi - \arcsin a + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(а > 1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
3) При \(а = 1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)
4) При \(а \leq -1 \) неравенство не имеет решений.

Неравенства вида \( \cos x > a \) и \( \cos x < a \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x > a \).
1) При \(-1 < a < 1 \) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (-\arccos(a) + 2\pi k; \;\; \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$
2) При \( a \geq 1\) неравенство не имеет решений.
3) При \(а < -1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
4) При \(а = -1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x < a \).
1) При \(-1 < a < 1 \) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\arccos a + 2\pi k; \;\; 2\pi - \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(a > 1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
3) При \(a \leq -1\) неравенство не имеет решений.
4) При \(a = 1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Неравенства вида \( tg \;x > a \) и \( tg \;x < a \)

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x < a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \;a + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Неравенства вида \( ctg \;x > a \) и \( ctg \;x < a \)

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x < a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( arcctg \; a + \pi k; \;\; \pi + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$

Решение тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( \sin x > \frac{1}{2} \).
Так как \( -1 < \frac{1}{2} < 1 \), то
$$ x \in \left( \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k; \;\; \pi - \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Так как \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \), то решение можно переписать в виде
$$ x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \;\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 2. Решим неравенство \( \sin \;x < -\frac{2}{3} \).
Так как \( -1 < -\frac{2}{3} < 1 \), то
$$ x \in \left(\pi - \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( \arcsin(-a) = -\arcsin a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left(\pi + \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k; \;\; 2\pi - \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 3. Решим неравенство \( \cos x > \frac{1}{2} \).
Так как \( -1 < \frac{1}{2} < 1 \), то
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 4. Решим неравенство \( \cos x < -0{,}3 \).
Так как \( -1 < -0{,}3 < 1 \), то
$$ x \in (\arccos(-0{,}3) + 2\pi k; \;\; 2\pi - \arccos(-0{,}3) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( \arccos(-a) = \pi - \arccos a \), перепишем решение в виде
$$ x \in (\pi-\arccos 0{,}3 + 2\pi k; \;\; \pi + \arccos 0{,}3 + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 5. Решим неравенство \( tg \;x > 1 \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 6. Решим неравенство \( tg \;x < -\frac{1}{2} \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \left( -\frac{1}{2} \right) + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( arctg(-a) = -arctg \; a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; -arctg \frac{1}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 7. Решим неравенство \( ctg \;x > \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 8. Решим неравенство \( ctg \;x < -\frac{5}{4} \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( arcctg \left( -\frac{5}{4} \right) + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( arcctg(-a) = \pi - arcctg \;a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left( \pi - arcctg \frac{5}{4} + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
или в виде
$$ x \in \left( - arcctg \frac{5}{4} + \pi n; \;\; \pi n \right), \; n \in \mathbb{Z} $$