Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических неравенств.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое неравенство.
Программа для решения тригонометрического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Вы можете посмотреть теорию решения тригонометрических неравенств и
некоторые методы решения тригонометрических неравенств.
Примеры подробного решения >>
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Тригонометрические неравенства
Неравенства вида \( \sin x > a \) и \( \sin x < a \)
Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x > a \).
1) При \(-1 < a < 1 \) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\arcsin a + 2\pi k; \;\; \pi - \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(а \geqslant 1 \) неравенство не имеет решений: \( x \in \emptyset \)
3) При \(а < -1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
4) При \(а = -1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)
Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x < a \).
1) При \(-1 < а < 1 \) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\pi - \arcsin a + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(а > 1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
3) При \(а = 1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)
4) При \(а \leqslant -1 \) неравенство не имеет решений.
Неравенства вида \( \cos x > a \) и \( \cos x < a \)
Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x > a \).
1) При \(-1 < a < 1 \) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (-\arccos(a) + 2\pi k; \;\; \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$
2) При \( a \geqslant 1\) неравенство не имеет решений.
3) При \(а < -1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
4) При \(а = -1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)
Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x < a \).
1) При \(-1 < a < 1 \) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:
$$ x \in (\arccos a + 2\pi k; \;\; 2\pi - \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$
2) При \(a > 1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)
3) При \(a \leqslant -1\) неравенство не имеет решений.
4) При \(a = 1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)
Неравенства вида \( tg \;x > a \) и \( tg \;x < a \)
Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x < a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \;a + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Неравенства вида \( ctg \;x > a \) и \( ctg \;x < a \)
Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$
Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x < a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( arcctg \; a + \pi k; \;\; \pi + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$
Решение тригонометрических неравенств
ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( \sin x > \frac{1}{2} \).
Так как \( -1 < \frac{1}{2} < 1 \), то
$$ x \in \left( \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k; \;\; \pi - \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Так как \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \), то решение можно переписать в виде
$$ x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \;\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
ПРИМЕР 2. Решим неравенство \( \sin \;x < -\frac{2}{3} \).
Так как \( -1 < -\frac{2}{3} < 1 \), то
$$ x \in \left(\pi - \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( \arcsin(-a) = -\arcsin a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left(\pi + \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k; \;\; 2\pi - \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
ПРИМЕР 3. Решим неравенство \( \cos x > \frac{1}{2} \).
Так как \( -1 < \frac{1}{2} < 1 \), то
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
ПРИМЕР 4. Решим неравенство \( \cos x < -0{,}3 \).
Так как \( -1 < -0{,}3 < 1 \), то
$$ x \in (\arccos(-0{,}3) + 2\pi k; \;\; 2\pi - \arccos(-0{,}3) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( \arccos(-a) = \pi - \arccos a \), перепишем решение в виде
$$ x \in (\pi-\arccos 0{,}3 + 2\pi k; \;\; \pi + \arccos 0{,}3 + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$
ПРИМЕР 5. Решим неравенство \( tg \;x > 1 \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$
ПРИМЕР 6. Решим неравенство \( tg \;x < -\frac{1}{2} \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \left( -\frac{1}{2} \right) + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( arctg(-a) = -arctg \; a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; -arctg \frac{1}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$
ПРИМЕР 7. Решим неравенство \( ctg \;x > \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
ПРИМЕР 8. Решим неравенство \( ctg \;x < -\frac{5}{4} \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( arcctg \left( -\frac{5}{4} \right) + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
Воспользовавшись равенством \( arcctg(-a) = \pi - arcctg \;a \), перепишем решение в виде
$$ x \in \left( \pi - arcctg \frac{5}{4} + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$
или в виде
$$ x \in \left( - arcctg \frac{5}{4} + \pi n; \;\; \pi n \right), \; n \in \mathbb{Z} $$