Этот калькулятор онлайн вычисляет угол между векторами в двух- или трехмерном пространстве.

Онлайн калькулятор для вычисления угла между векторами не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Определение
Скалярным произведением двух ненулевых векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов ненулевой, то угол не определен и скалярное произведение векторов по определению полагают равным нулю.

Скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) обозначают \( \vec{a} \cdot \vec{b} \). Итак,
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \varphi \)
где \( \varphi \) - угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)

Типичным примером скалярного произведения векторов в физике является формула работы:
\( A = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \varphi \)
где вектор \( \vec{a} \) - сила, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора \( \vec{b} \)

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения векторов.
1. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \) (свойство перестановочности сомножителей)
2. \( (\alpha \vec{a} ) \cdot \vec{b} = \alpha ( \vec{b} \cdot \vec{a} ) \) (свойство сочетательности относительно умножения на число)
3. \( \vec{a} \cdot ( \vec{b} + \vec{c} ) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \) (свойство распределительности суммы векторов)
4. \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \)
5. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), если \( \vec{a} \bot \vec{b} \) , и обратно, \( \vec{a} \bot \vec{b} \) , если \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) и \( \vec{a} \neq \vec{0}, \; \vec{b} \neq \vec{0} \).

Теорема
Если векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) заданы своими координатами: \( \vec{a} \left( a_x; a_y; a_z \right), \;\; \vec{b} \left( b_x; b_y; b_z \right) \), то их скалярное произведение можно вычислить по формуле
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \)

Следствие
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов \( \vec{a} \left( a_x; a_y; a_z \right) \) и \( \vec{b} \left( b_x; b_y; b_z \right) \) является равенство
\( a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z = 0 \)

Следствие
Косинус угла между векторами \( \vec{a} \left( a_x; a_y; a_z \right) \) , и \( \vec{b} \left( b_x; b_y; b_z \right) \) определяется равенством
$$ \cos \varphi = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{a}| |\vec{b}| } = \frac{a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \; \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} } $$