Этот калькулятор онлайн вычисляет объем пирамиды (тетраэдра) построенной на векторах. Пирамида (тетраэдр) задаётся координатами трех векторов исходящими из одной вершины пирамиды.

Онлайн калькулятор для вычисления объема пирамиды (тетраэдра) построенной на векторах не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Определение
Смешанным произведением трех векторов \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) называется число, равное скалярному произведению вектора \( \vec{a} \) на векторное произведение векторов \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \), т.е.
\( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) \)

Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения векторов.

Теорема
Смешанное произведение \( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) \) равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) взятому со знаком "+", если тройка \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) - правая, со знаком "-", если тройка \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) - левая. Если же \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) компланарны, то \( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) = 0 \). Другими словами:

Следствие
Из теоремы легко выводится следующее тождество:
\( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) = ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c} \)
т.е. знаки \( \cdot \) и \( \times \) в смешанном произведении векторов можно менять местами.
В силу этого тождества смешанные произведения \( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) \) и \( ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c} \) можно обозначать более простым символом \( \vec{a} \vec{b} \vec{c} \)

Теорема
Если векторы \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) заданы своими координатами \( \vec{a} \left( a_x; a_y; a_z \right), \; \) \( \vec{b} \left( b_x; b_y; b_z \right), \; \) \( \vec{c} \left( c_x; c_y; c_z \right) \) то смешанное произведение \( \vec{a} \vec{b} \vec{c} \) вычисляется по формуле:
\( \vec{a} \vec{b} \vec{c} = a_x \begin{vmatrix} b_y & b_z \\ c_y & c_z \end{vmatrix} + a_y \begin{vmatrix} b_z & b_x \\ c_z & c_x \end{vmatrix} + a_z \begin{vmatrix} b_x & b_y \\ c_x & c_y \end{vmatrix} \)
или
\( \vec{a} \vec{b} \vec{c} = a_x( b_y c_z - c_y b_z) + a_y ( b_z c_x - c_z b_x) + a_z( b_x c_y - c_x b_y) \)